Diffbarkeit komplexer Exponent < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei z [mm] \in [/mm] C, und sei f : R [mm] \to \IC [/mm] de finiert durch f(x) := 0 für x [mm] \le [/mm] 0 und f(x) := [mm] x^{z} [/mm] für
x > 0. Zeige: f ist genau dann im Punkt 0 di erenzierbar, wenn Re z > 1 gilt. |
Hallo! Zu zeigen ist ja: f in [mm] x_0 [/mm] diffbar [mm] \gdw [/mm] Re(z) > 1. Also 2 Richtungen.
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Ang. f ist diffbar [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}
[/mm]
Sei z =: a + ib
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{0 - 0}{x} [/mm] = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{z}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a+ib}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a}x^{ib}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib} [/mm]
Damit
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}
[/mm]
muss a > 1 sein. Wie ich das zeigen kann weiß ich aber nicht. Ich weiß nur, dass der Limes für a > 1 gleich 0 ist. Für a < 1 vermute ich, dass er es nicht ist. Wie kann man das zeigen?
Zur Rückrichtung: Muss ich mit der Annahme Re z > 1 einfach nur zeigen, dass der rechtsseitige Limes gleich dem linksseitigem Limes ist?
Grüße, Kulli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei z [mm]\in[/mm] C, und sei f : R [mm]\to \IC[/mm] de finiert durch f(x) :=
> 0 für x [mm]\le[/mm] 0 und f(x) := [mm]x^{z}[/mm] für
> x > 0. Zeige: f ist genau dann im Punkt 0 di erenzierbar,
> wenn Re z > 1 gilt.
> Hallo! Zu zeigen ist ja: f in [mm]x_0[/mm] diffbar [mm]\gdw[/mm] Re(z) > 1.
> Also 2 Richtungen.
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> Ang. f ist diffbar [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm]
>
> Sei z =: a + ib
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm] =
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\ -0} \bruch{0 - 0}{x}[/mm] = 0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{z}}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a+ib}}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{x^{a}x^{ib}}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib}[/mm]
>
> Damit
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0}{x - x_0}[/mm]
>
> muss a > 1 sein. Wie ich das zeigen kann weiß ich aber
> nicht. Ich weiß nur, dass der Limes für a > 1 gleich 0
> ist. Für a < 1 vermute ich, dass er es nicht ist. Wie kann
> man das zeigen?
für jedes $b [mm] \in \IR$ [/mm] und $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt doch [mm] $x^{ib}=\exp(i*b*\ln(x))\,.$ [/mm] Da steht also die Eulersche Formel, so dass Du erkennst
[mm] $$|x^{ib}|=1$$
[/mm]
für alle $x > [mm] 0\,.$ [/mm] (Damit auch [mm] $\lim_{x \to +0}|x^{ib}|=\lim_{x \to +0}1=1\,.$)
[/mm]
Beachte dabei: Für jedes $x > [mm] 0\,$ [/mm] und $b [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $b*\ln(x) \in \IR\,.$
[/mm]
Und Deine obigen Überlegungen zeigen doch, dass, falls [mm] $f\,$ [/mm] im Punkte [mm] $0\,$ [/mm] differenzierbar ist, dann auch
[mm] $$\lim_{x \to+0} |x^{a-1} x^{ib}|$$ [/mm]
existieren und [mm] $=0\,$ [/mm] sein muss. Wegen [mm] $|x^{ib}|=1$ [/mm] (für alle $x > [mm] 0\,$) [/mm] ist das gleichbedeutend damit, dass
[mm] $$\lim_{x \to+0} |x^{a-1}|=0$$ [/mm]
gelten muss, also da bei der Grenzwertbetrachtung ja stets $x > [mm] 0\,$ [/mm] ist (oder, je nach Eurer Definition, man jedenfalls o.E. $x > [mm] 0\,$ [/mm] annehmen kann), dass
[mm] $$g:=\lim_{x \to+0} x^{a-1}=0\,.$$ [/mm]
Im Fall $a > [mm] 1\,$ [/mm] kann man zeigen, dass das dann passt (denn man kann bei $x [mm] \to [/mm] +0$ o.E. $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] annehmen).
Im Falle $a < [mm] 1\,$ [/mm] ist für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] x_n [/mm] < [mm] 1\$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ die Folge [mm] $(y_n)_n\,,$ [/mm] definiert durch [mm] $y_n:=(x_n)^{a-1}\,,$ [/mm] unbeschränkt. Was bedeutet das dann für [mm] $\lim_{x \to +0} x^{a-1}$?
[/mm]
Und dass im Fall $a=1$ sicher
[mm] $$\lim_{x \to+0} x^{a-1}=1 \not=0$$
[/mm]
gilt, ist klar, da für jedes $x > [mm] 0\,$ [/mm] doch [mm] $x^0=1$ [/mm] gilt.
Und zur Rückrichtung:
Überlege Dir:
Es gilt nicht nur, dass, falls [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar ist, so folgt
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
[/mm]
(wobei die Symbolik hier die Existenz der beiden Grenzwerte mitbeinhalten soll), sondern es gilt doch sogar:
Genau dann ist [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar, wenn
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\,.$$
[/mm]
Es gilt hier sowieso
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ -0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=0\,,$$
[/mm]
(d.h. dieser linksseitige Grenzwert existiert und hat den Wert [mm] $0\,$)
[/mm]
daher ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar, wenn der entsprechende rechtsseitige Grenzwert existiert und den Wert [mm] $0\,$ [/mm] hat, also wenn:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\ +0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}=0$$
[/mm]
gilt. Wenn Du also oben bei Dir guckst, wann und wo es angebracht wäre, anstatt "nur" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] sogar [mm] $\gdw$ [/mm] zu schreiben (d.h., man kann auch in die andere Richtung folgern, bzw. besser gesagt: die Folgerung in die andere Richtung klappt auch), siehst Du, dass Du da eigentlich auch nichts neues mehr machen muss.
Fazit: [mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann an [mm] $0\,$ [/mm] diff'bar, wenn
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0\,.$$
[/mm]
Und warum letztstehendes genau dann der Fall ist, wenn $a > [mm] 1\,,$ [/mm] kannst Du Dir nochmal selbst überlegen, oder oben nachlesen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Sehr hilfreicher Post, danke!
Damit ich das wirklich richtig verstanden habe:
Wenn ich für a > 1 gezeigt habe, dass der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib} [/mm] existiert, dann darf ich für weitere Überlegungen des Grenzwertes für ein a den Betrag [mm] \lim_{x \to+0} |x^{a-1} x^{ib}| [/mm] und daraus gefolgert [mm] \lim_{x \to+0} |x^{a-1}|=0 [/mm] benutzen? Das ist wirklich gut, darauf wäre ich nicht gekommen!
Im Falle a < [mm] 1\, [/mm] ist für jede Folge [mm] (x_n)_n [/mm] mit 0 < [mm] x_n [/mm] < 1\ mit [mm] x_n \to [/mm] 0 die Folge [mm] (y_n)_n\,, [/mm] definiert durch [mm] y_n:=(x_n)^{a-1}\,, [/mm] unbeschränkt. Was bedeutet das dann für [mm] \lim_{x \to +0} x^{a-1}? [/mm]
naja für a-1 = -p < 0 ist dann [mm] \lim_{x \to +0} x^{a-1} [/mm] = [mm] \lim_{x \to +0} \bruch{1}{x^{p}} [/mm] = [mm] \infty [/mm] also ein uneigentlicher GW.
Und warum letztstehendes genau dann der Fall ist, wenn a > [mm] 1\,, [/mm] kannst Du Dir nochmal selbst überlegen, oder oben nachlesen.
Ich würde das mit Substitution machen, so haben wir es vor kurzem auch gehandhabt.
Also:
für a > 1 sei a - 1 := p [mm] \in \IR_{+}
[/mm]
[mm] \lim_{x \to +0}x^{p}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \to +0} e^{p log x}
[/mm]
= [mm] \lim_{y \to \infty} e^{p (-y)}
[/mm]
[mm] \lim_{y \to \infty} \bruch{1}{e^{p y}} [/mm] = 0
Mfg, kulli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass [mm] x^p, [/mm] p>0 für x =0 0 ist muss man doch nicht zeigen? [mm] 0^p=0.
[/mm]
für p<0 erstze p durch q=-p>0 und [mm] x^p [/mm] durch [mm] 1/x^q [/mm] mit [mm] x^q [/mm] gegen 0
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ja im Prinzip hast du natürlich recht. Nur sollten wir auf dem letzten Übungsblatt gerade solche Grenzwerte auf "bekannte" grenzwerte zurückführen, d.h. immer auf e hoch irgendwas.. Aber ich werde das jetzt lassen, ist wirklich Quatsch 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja im Prinzip hast du natürlich recht.
hat er nicht. Was bringt Dir das Wissen [mm] $0^p=0$ [/mm] für $p > [mm] 0\,$ [/mm] fest, wenn Du aber
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^p=\lim_{0 < x \to 0}x^p=0$$
[/mm]
zeigen sollst? Dafür musst Du begründen, dass die Funktion
$$x [mm] \mapsto x^p$$
[/mm]
für $x [mm] \ge [/mm] 0$ (rechts-)stetig an [mm] $0\,$ [/mm] ist. Das ist nur eine Umformulierung dessen, was Du zeigen sollst. Die Begründung klappt, indem Du sagst: Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig und dann [mm] $\lim_{y \to -\infty }\exp(y)=0$ [/mm] ausnutzt!
> Nur sollten wir auf
> dem letzten Übungsblatt gerade solche Grenzwerte auf
> "bekannte" grenzwerte zurückführen, d.h. immer auf e hoch
> irgendwas.. Aber ich werde das jetzt lassen, ist wirklich
> Quatsch
Ist es nicht. Sicher sind's Situationen ähnlich wie oben.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> dass [mm]x^p,[/mm] p>0 für x =0 0 ist muss man doch nicht zeigen?
> [mm]0^p=0.[/mm]
darum geht's nicht, sondern eigentlich um den Nachweis, dass
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^p=0$$
[/mm]
ist. Dafür reicht die Erkenntnis [mm] $0^p=0$ [/mm] ($p > [mm] 0\,$ [/mm] fest) alleine nicht aus. Sondern, wenn man das benutzen will, muss man dann auch noch die Stetigkeit der Funktion
$$x [mm] \mapsto x^p$$
[/mm]
für $x [mm] \ge [/mm] 0$ an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] benutzen. Diese ergibt sich, da [mm] $x^p=\exp(p*\ln(x))$ [/mm] für $x > [mm] 0\,$ [/mm] geschrieben werden kann und [mm] $\exp(y) \to [/mm] 0$ für $y [mm] \to -\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sehr hilfreicher Post, danke!
>
> Damit ich das wirklich richtig verstanden habe:
>
> Wenn ich für a > 1 gezeigt habe, dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib}[/mm] existiert, dann
> darf ich für weitere Überlegungen des Grenzwertes für
> ein a den Betrag [mm]\lim_{x \to+0} |x^{a-1} x^{ib}|[/mm] und daraus
> gefolgert [mm]\lim_{x \to+0} |x^{a-1}|=0[/mm] benutzen? Das ist
> wirklich gut, darauf wäre ich nicht gekommen!
da verstehe ich Deine Überlegungen nicht. Okay, betrachten wir zunächst mal den Fall $a > [mm] 1\,:$ [/mm]
Dann gilt
[mm] $$(\star)\;\;\;\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}x^{ib}=0\,,$$
[/mm]
denn hier gilt
[mm] $$(\star_2)\;\;\;\limes_{x\rightarrow\ +0} |x^{a - 1}x^{ib}|=\limes_{x\rightarrow\ +0} x^{a - 1}=0\,.$$ [/mm]
Letzteres, also [mm] $(\star_2)\,,$ [/mm] beweist [mm] $(\star)\,,$ [/mm] denn die Betragsfunktion $z [mm] \mapsto [/mm] |z|$ ist auch auf [mm] $\IC$ [/mm] stetig, insbesondere an der Stelle [mm] $0\,.$ [/mm] Außerdem benutzt man nach dem ersten Gleichheitszeichen von [mm] $(\star_2)$ [/mm] die in [mm] $\IC$ [/mm] bekannte Rechenregel $|w*z|=|w|*|z|$ und die wegen der Eulerschen Formel bekannte Erkenntnis [mm] $|e^{i*\phi}|=|\cos(\phi)+i*\sin(\phi)|=\sqrt{\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)}=1$ [/mm] für alle reellen [mm] $\phi\,.$
[/mm]
> Im Falle a < [mm]1\,[/mm] ist für jede Folge [mm](x_n)_n[/mm] mit 0 <
> [mm]x_n[/mm] < 1\ mit [mm]x_n \to[/mm] 0 die Folge [mm](y_n)_n\,,[/mm] definiert
> durch [mm]y_n:=(x_n)^{a-1}\,,[/mm] unbeschränkt. Was bedeutet das
> dann für [mm]\lim_{x \to +0} x^{a-1}?[/mm]
>
> naja für a-1 = -p < 0 ist dann [mm]\lim_{x \to +0} x^{a-1}[/mm] =
> [mm]\lim_{x \to +0} \bruch{1}{x^{p}}[/mm] = [mm]\infty[/mm] also ein
> uneigentlicher GW.
Noch viel einfacher: Unbeschränkte Folgen können (in [mm] $\IR$) [/mm] nicht konvergieren. Daher kann [mm] $(y_n)_n$ [/mm] nicht konvergieren (damit natürlich auch nicht gegen [mm] $0\,$), [/mm] also existiert [mm] $\lim_{x \to +0}(1/x^p)$ [/mm] für $p > [mm] 0\,$ [/mm] nicht. Hier würde Dir die Erkenntnis, dass [mm] $0^p=0$ [/mm] ist, auch nicht viel bringen. Denn es geht nicht um [mm] "$1/0^p$", [/mm] sondern bei [mm] $1/x^p$ [/mm] ist $0 < x [mm] \to 0\,.$ [/mm] D.h. es ist hier nicht von Bedeutung, dass [mm] $1/0^p$ [/mm] nicht definiert wäre - das ist vollkommen egal.
>
> Und warum letztstehendes genau dann der Fall ist, wenn a >
> [mm]1\,,[/mm] kannst Du Dir nochmal selbst überlegen, oder oben
> nachlesen.
>
> Ich würde das mit Substitution machen, so haben wir es vor
> kurzem auch gehandhabt.
> Also:
> für a > 1 sei a - 1 := p [mm]\in \IR_{+}[/mm]
>
> [mm]\lim_{x \to +0}x^{p}[/mm]
>
> = [mm]\lim_{x \to +0} e^{p log x}[/mm]
>
> = [mm]\lim_{y \to \infty} e^{p (-y)}[/mm]
>
> [mm]\lim_{y \to \infty} \bruch{1}{e^{p y}}[/mm] = 0
>
> Mfg, kulli
Das ist okay. Jetzt hast Du so aber wirklich erstmal nur gezeigt, dass
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0$$
[/mm]
ist, wenn $a > [mm] 1\,.$
[/mm]
Die Fälle [mm] $a=1\,$ [/mm] und $a < [mm] 1\,$ [/mm] musst Du dann ja auch noch behandeln. Da steht ja:
[mm] $$\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] a > [mm] 1\,.$$
[/mm]
D.h. es ist zu zeigen:
1.) Aus $a > [mm] 1\,$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0\,.$
[/mm]
2.) Wenn [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}=0\,,$ [/mm] dann muss $a > [mm] 1\,$ [/mm] sein.
2.) hast Du noch nicht behandelt. Aber das ist einfach, weil das wegen Kontraposition äquivalent formuliert werden kann als
2'.) Wenn $a [mm] \le 1\,,$ [/mm] dann ist a) [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}\not=0$ [/mm] oder b) [mm] $\lim_{x \to +0}x^{a-1}$ [/mm] existiert nicht.
Und präziser: 2.') a) folgt genau für [mm] $a=1\,,$ [/mm] und 2.' b) wirst Du für $a < 1$ nachweisen können. Und das habe ich eigentlich auch schon oben stehen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Wow solche detailierten Erklärungen sind nicht mal bei meinem Übungsleiter anzutreffen!! Die restlichen Zweifel haben sich in Luft aufgelöst!
|
|
|
|
