Diffenzierbarkeit +injektiv < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Sei g:(-1,1) -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar und es gebe ein M [mm] \ge [/mm] 0 mit |g'(a)| [mm] \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] a [mm] \in(-1,1)
[/mm]
Zeige: Es gibt ein [mm] \varepsilon [/mm] >0, so dass die Abbildung f:x [mm] \in [/mm] (-1,1) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] +\varepsilon [/mm] g(x) [mm] \in \IR [/mm] injektiv ist. |
Hallo,
diese Aufgabe sagt doch, dass ich eine Funktion habe die ich einmal ableite mit einem Funktionswert aus (-1,1) und dieses das betraglich kleiner gleich ein M sein soll.
Für die injektivität gilt:
f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten die Gleichheit der in die Funtkion eingesetzten x-Werte folgt. [mm] \froall x_1 [/mm] , [mm] x_2 \in [/mm] X: [mm] (f(x_1)=f(x_2)) [/mm] -> [mm] x_1=x_2)
[/mm]
Hat jemand eine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen könnte, Danke!
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Wähle [mm] \epsilon [/mm] >0 so ,dass [mm] \epsilon [/mm] < 1/M , etwa [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2M}.
[/mm]
Mit den Dreiecksungleichungen folgt :
0< [mm] 1-\epsilon [/mm] M [mm] \le [/mm] 1 - [mm] \epsilon [/mm] |g'(x)| [mm] \le [/mm] |1+ [mm] \epsilon [/mm] g'(x)| = |f'(x)| für x in (-1,1),
also hat f' auf (-1,1) keine Nullstelle.
Sei nun [mm] x_1, x_2 \in [/mm] (-1,1) und [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2). [/mm] Wäre [mm] x_1 \not= x_2, [/mm] so würde aus dem Mittelwersatz folgen: f' hat eine Nullstelle zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] Widerspruch
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Warum wähle ich denn [mm] \varepsilon [/mm] <1/M ?
Hat das irgendwas mit dem Intervall (-1,1) zutun?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Warum wähle ich denn [mm]\varepsilon[/mm] <1/M ?
Damit 0< $ [mm] 1-\epsilon [/mm] $ M
FRED
> Hat das irgendwas mit dem Intervall (-1,1) zutun?
> Grüße
|
|
|
|
