Diffeomorphismus Einheitskugel < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass die Abbildung der Einheitskugel im [mm] \IR^n [/mm]
[mm] f:B_1(0)\to \IR^n, [/mm] f(x)= [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-\parallel x \parallel^2}}
[/mm]
ein Diffeomorphismus ist (direkt durch Angeben der Umkehrabbildung)
Gib die Funktionalmatrix [mm] D_f(x) [/mm] (für allgemeines n) an und berechne die Funktionaldeterminanten von f für n=2,3 |
okay..also ich habe das erstmal im Eindimensionalen versucht...
y=f(x) und x= [mm] g^{-1}(y)
[/mm]
y=f(x)= [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}}
[/mm]
x=g(y)= [mm] \bruch{y}{\wurzel{1-y^2}}
[/mm]
g ist genau dann eine Umkehrabbildung, wenn [mm] g\circ [/mm] f= id und [mm] f\circ [/mm] g=id
also f(g(y))=y und g(f(x))=x
(okay, aber wie zeige ich das????? wenn ich das einsetze erhalte ich nicht y bzw x)
weiter für [mm] \IR^n
[/mm]
[mm] y=f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}} [/mm] für |x|< 1
x=g(y)= [mm] \bruch{y}{\wurzel{1-|y|^2}} [/mm] für [mm] y\in \R^n
[/mm]
|g(y)|= [mm] \bruch{|y|}{\wurzel{1-|y|^2}} [/mm] <1 Damit ist die Verkettung [mm] f\circ [/mm] g definiert
nun muss ich noch berechnen: f(g(y)) und g(f(x))
(wieder das Problem, dass ich nicht genau weiß wie man einsetzt)
Die Funktionalmatrix [mm] D_f(x) [/mm] und bei den Funktionaldterminanten für n=2,3 kann mir da jemand helfen??
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Do 09.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige, dass die Abbildung der Einheitskugel im [mm]\IR^n[/mm]
>
> [mm]f:B_1(0)\to \IR^n,[/mm] f(x)= [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-\parallel x \parallel^2}}[/mm]
>
> ein Diffeomorphismus ist (direkt durch Angeben der
> Umkehrabbildung)
>
> Gib die Funktionalmatrix [mm]D_f(x)[/mm] (für allgemeines n) an und
> berechne die Funktionaldeterminanten von f für n=2,3
>
>
> okay..also ich habe das erstmal im Eindimensionalen
> versucht...
>
> y=f(x) und [mm]x= g^{-1}(y)[/mm]
>
> [mm]y=f(x)= \bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}}[/mm]
> [mm]x=g(y)= \bruch{y}{\wurzel{1-y^2}}[/mm]
Da hast du dich verechnet; wenn ich $y=f(x)$ nach x auflöse, bekomme ich
[mm] x= \bruch{y}{\wurzel{1+y^2}} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Do 09.06.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Oh sorry...das war nur ein Tippfehler...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 09.06.2011 | | Autor: | vwxyz |
HI
> Die Funktionalmatrix [mm]D_f(x)[/mm] und bei den
> Funktionaldterminanten für n=2,3 kann mir da jemand
> helfen??
hier musst du einfach nur die Definition für eine Funktionalmatrix (Jacobimatrix) anwenden bzw. die der Funktionaldeterminante (Jacobideterminante).
Die Jacobi Matrix wiederum berechnest du einfach aus.
Du hast ja eine Abbildung f : [mm] B_{1}(0)\subset\IR^{n}\to\IR^{n} [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1-\parallel x \parallel^{2}}} [/mm] und dort existieren sämtliche partiellen diffenrentielle Ableitungen. Also bildest die Matrix in Abhängigkeit von n und daraus dann die Determinante für n=2 und 3.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Do 09.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> hier musst du einfach nur die Definition für eine
> Funktionalmatrix anwenden die besagt, dass sie die
> Jacobideterminante ist.
Das ist aber großer Blödsinn !
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Do 09.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige, dass die Abbildung der Einheitskugel im [mm]\IR^n[/mm]
>
> [mm]f:B_1(0)\to \IR^n,[/mm] f(x)= [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-\parallel x \parallel^2}}[/mm]
>
> ein Diffeomorphismus ist (direkt durch Angeben der
> Umkehrabbildung)
>
> Gib die Funktionalmatrix [mm]D_f(x)[/mm] (für allgemeines n) an und
> berechne die Funktionaldeterminanten von f für n=2,3
>
>
> okay..also ich habe das erstmal im Eindimensionalen
> versucht...
>
> y=f(x) und [mm]x= g^{-1}(y)[/mm]
>
> y=f(x)= [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}}[/mm]
> x=g(y)= [mm]\bruch{y}{\wurzel{1-y^2}}[/mm]
>
> g ist genau dann eine Umkehrabbildung, wenn [mm]g\circ[/mm] f= id
> und [mm]f\circ[/mm] g=id
> also f(g(y))=y und g(f(x))=x
>
> (okay, aber wie zeige ich das????? wenn ich das einsetze
> erhalte ich nicht y bzw x)
Wenn du das Vorzeichen im Nenner richtig machst, dann schon:
[mm] g(f(x)) = \bruch{f(x)}{\wurzel{1+f(x)^2}} = \bruch{\bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}}}{\wurzel{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}}\right)^2}} = \bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}\wurzel{1+\bruch{x^2}{1-|x|^2}}} = \bruch{x}{\wurzel{(1-|x|^2)+|x|^2}} = x[/mm] ,
und analog für $f(g(y))$.
> weiter für [mm]\IR^n[/mm]
>
> [mm]y=f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1-|x|^2}}[/mm] für |x|< 1
> x=g(y)= [mm]\bruch{y}{\wurzel{1-|y|^2}}[/mm] für [mm]y\in \R^n[/mm]
>
> |g(y)|= [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{1-|y|^2}}[/mm] <1 Damit ist die
> Verkettung [mm]f\circ[/mm] g definiert
> nun muss ich noch berechnen: f(g(y)) und g(f(x))
> (wieder das Problem, dass ich nicht genau weiß wie man
> einsetzt)
>
>
> Die Funktionalmatrix [mm]D_f(x)[/mm] und bei den
> Funktionaldterminanten für n=2,3 kann mir da jemand
> helfen??
Du musst die n Komponenten des Vektors $f(x)$ der Reihe nach den Komponenten des Vektors x ableiten, dh. die Matrixelemente der Funktionalmatrix sind
[mm] (D_f)_{ij}(x) = \bruch{\partial}{\partial x_j} f_i(x) = \bruch{\partial}{\partial x_j} \bruch{x_i}{\wurzel{1-\|x\|^2}}[/mm] .
Beachte dabei, dass [mm] $\|x\|^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n x_k^2$ [/mm] ist, und daher
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_j} \|x\|^2 = 2x_j [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:28 Do 09.06.2011 | | Autor: | Mathegirl |
okay...habs verstanden...kann mir jemand die richtige Funktionalmatrix und die Funktionaldeterminaten posten? habe meine Lösungen soeben abgesendet und hätte gerne einen vergleich wie die richtige Lösung lauten müsste...ich habe aber leider nicht die möglichkeit hier vorzurechnen, da ich ab morgen ganz früh erstmal weg muss..vielleicht ist ja doch später nochmal die Möglichkeit zu fragen, falls ich Verständnisprobleme habe???
Grüße
Mathegirl
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Hallo,
klar kannst Du hier später nochmal nachfragen, das ist doch garkein Problem.
Poste Deine Lösung, wenn Du Zeit hast, und dann können die, die sich mit der Aufgabe beschäftigt haben, Dir sagen, ob sie zum selben Ergebnis gekommen sind. Das ist der Weg, der der Intention des Forums entspricht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Sa 31.12.2011 | | Autor: | EulerEumel |
Für Vektoren der Länge 1 ist doch der Betrag unter der Wurzel gleich Null und für diesen Punkt ist doch keine Ableitung der Wurzelfunktion definiert, nicht ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mo 02.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für Vektoren der Länge 1 ist doch der Betrag unter der
> Wurzel gleich Null und für diesen Punkt ist doch keine
> Ableitung der Wurzelfunktion definiert, nicht ?
Richtig, aber der Definitionsbereich der Abbildung ist die offene Einheitskugel [mm] $B_1(0)$, [/mm] also ist [mm] $\|x\|<1$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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