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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 11.06.2012 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | (a) Sei $V$ der Vektorraum aller stetigen Funktionen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
Sei [mm] $T:V\to [/mm] V$ die lineare Abbildung definiert durch [mm] $$(Tf)(x):=\int_0^x{f(t)dt}$$
[/mm]
Zeigen Sie, dass $T$ keine Eigenwerte hat.
Hinweis: Benutzen Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
(b) Sei $V$ der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der [mm] $C^{\infty}$ [/mm] Funktionen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl Eigenwert der linearen Abbildung $d / [mm] dt:V\to [/mm] V$, die $f(t)$ auf ihre Abbildung abbildet, ist. |
Hallo,
ich verzweifle gerade an der Aufgabe oben.
Ich hab keine Ahnung wie anfangen :(
Vielleicht kann mir jemand etwas auf die Sprünge helfen.
Darüber wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank schonmal
lG
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu (a)
1. Ist [mm] \lambda \in \IR [/mm] und f [mm] \in [/mm] V und gilt Tf= [mm] \lambda [/mm] f, so ist
(*) [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}=\lambda [/mm] f(x) für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Der Hauptsatz besagt, dass x [mm] \to \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] differenzierbar ist und Ableitung =f(x) hat.
Damit ist wegen (*) auch f differenzierbar und es gilt
(**) $f(x)= [mm] \lambda [/mm] f'(x)$ für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Ist [mm] \lambda [/mm] =0 , so folgt aus (**), dass f die Nullfunktion ist. Damit ist [mm] \lambda=0 [/mm] kein Eigenwert von T.
Sei [mm] \lambda \ne [/mm] 0.
Zeige nun, dass aus (**) folgt:
(***) [mm] f(x)=c*e^{x/\lambda}
[/mm]
mit einem c [mm] \in \IR. [/mm]
Aus (*) und (**) bekommen wir
[mm] \lambda [/mm] f(x)=(Tf)(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{\lambda f'(t) dt}=\lambda(f(x)-f(0))
[/mm]
Zeige Du nun , dass f(0)=0 sein muß und dass f dann die Nullfunktion ist.
Zu (b):
Lass die Abbildung mal auf [mm] f(x)=e^{\lambda x} [/mm] los
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Di 12.06.2012 | | Autor: | HugATree |
> Zu (a)
Vielen Dank erstmal für die Antwort :)
>
> 1. Ist [mm]\lambda \in \IR[/mm] und f [mm]\in[/mm] V und gilt Tf= [mm]\lambda[/mm] f,
wie kommt man hier drauf, dass man das so definiert?
Also das [mm] $Tf=\lambda [/mm] f$?
> so ist
>
> (*) [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}=\lambda[/mm] f(x) für alle x
> [mm]\in \IR[/mm]
>
> Der Hauptsatz besagt, dass x [mm]\to \integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> differenzierbar ist und Ableitung =f(x) hat.
>
> Damit ist wegen (*) auch f differenzierbar und es gilt
>
> (**) [mm]f(x)= \lambda f'(x)[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Ist [mm]\lambda[/mm] =0 , so folgt aus (**), dass f die Nullfunktion
> ist. Damit ist [mm]\lambda=0[/mm] kein Eigenwert von T.
>
Warum ist Lambda hier plötzlich Eigenwert?
> Sei [mm]\lambda \ne[/mm] 0.
> Zeige nun, dass aus (**) folgt:
>
> (***) [mm]f(x)=c*e^{x/\lambda}[/mm]
>
Hier verstehe ich leider nicht, wie ich auf [mm] $c*e^{\frac{x}{\lambda}}$ [/mm] kommen soll :-/
> mit einem c [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Aus (*) und (**) bekommen wir
>
> [mm]\lambda[/mm] f(x)=(Tf)(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{\lambda f'(t) dt}=\lambda(f(x)-f(0))[/mm]
>
>
> Zeige Du nun , dass f(0)=0 sein muß und dass f dann die
> Nullfunktion ist.
>
> Zu (b):
>
> Lass die Abbildung mal auf [mm]f(x)=e^{\lambda x}[/mm] los
>
> FRED
Vielen Dank
HugATree
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:23 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Zu (a)
>
> Vielen Dank erstmal für die Antwort :)
> >
> > 1. Ist [mm]\lambda \in \IR[/mm] und f [mm]\in[/mm] V und gilt Tf= [mm]\lambda[/mm] f,
> wie kommt man hier drauf, dass man das so definiert?
> Also das [mm]Tf=\lambda f[/mm]?
Ist $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $ und f $ [mm] \in [/mm] $ V und gilt Tf= $ [mm] \lambda [/mm] $ f,so ist [mm] \lambda [/mm] genau dann ein Eigenwert von T, wenn f nicht die Nullfunktion ist.
FRED
> > so ist
> >
> > (*) [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}=\lambda[/mm] f(x) für alle x
> > [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > Der Hauptsatz besagt, dass x [mm]\to \integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> > differenzierbar ist und Ableitung =f(x) hat.
> >
> > Damit ist wegen (*) auch f differenzierbar und es gilt
> >
> > (**) [mm]f(x)= \lambda f'(x)[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Ist [mm]\lambda[/mm] =0 , so folgt aus (**), dass f die Nullfunktion
> > ist. Damit ist [mm]\lambda=0[/mm] kein Eigenwert von T.
> >
> Warum ist Lambda hier plötzlich Eigenwert?
>
> > Sei [mm]\lambda \ne[/mm] 0.
> > Zeige nun, dass aus (**) folgt:
> >
> > (***) [mm]f(x)=c*e^{x/\lambda}[/mm]
> >
> Hier verstehe ich leider nicht, wie ich auf
> [mm]c*e^{\frac{x}{\lambda}}[/mm] kommen soll :-/
> > mit einem c [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Aus (*) und (**) bekommen wir
> >
> > [mm]\lambda[/mm] f(x)=(Tf)(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{\lambda f'(t) dt}=\lambda(f(x)-f(0))[/mm]
>
> >
> >
> > Zeige Du nun , dass f(0)=0 sein muß und dass f dann die
> > Nullfunktion ist.
> >
> > Zu (b):
> >
> > Lass die Abbildung mal auf [mm]f(x)=e^{\lambda x}[/mm] los
> >
> > FRED
>
> Vielen Dank
> HugATree
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