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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Di 13.01.2009 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | Es soll die Bogenlänge der Zykloide z(t)= [mm] \vektor{a(t+sin(t)) \\ a(1-cos(t))} [/mm] auf dem Integral [0,t] berechnet werden. |
Hallo zusammen,
ich habe um obige Aufgabe zu lösen natürlich zunächst die Geschwindigkeit von z(t) berechnet, welche wie folgt aussieht:
[mm] \wurzel{2} [/mm] a [mm] \wurzel{cos(t) + 1}
[/mm]
Für die Bogenlänge muss nun also die Stammfkt. der Geschwindigkeit gebildet werden, d.h.:
[mm] \wurzel{2} [/mm] a [mm] \integral_{0}^{t}{\wurzel{cos(t) + 1} dx}
[/mm]
Mein Problem liegt also nur in der Berechnung des Integrals. Ich weiss durch einen "Onlinerechner", dass die Stammfkt. wie folgt aussieht:
2 [mm] \wurzel{cos(t) + 1} [/mm] tan( [mm] \bruch{t/2} [/mm] )
Aber wie kommt man darauf? Habe mit allen mir bekannten Integrationstechniken rumgefummelt, aber ergebnislos.
Wo liegt der Trick?
Danke schon mal im Voraus.
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Ich halte die Lösungsdarstellung des Wolfram (Mathematica) Integrators für unnötig kompliziert.
Substituiere in Deinem Integral [mm] u=\wurzel{1\red{-}\cos{t}}, [/mm] dann bist Du ganz schnell fertig.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Di 13.01.2009 | | Autor: | oeli1985 |
Danke schon mal für diesen Tipp, aber ich steh noch immer auf dem Schlauch.
Habe seit ewigkeiten nichts mehr integriert und weiss gerade gar nicht was du meinst.
Also wär nett, wenn du es mir genauer erklären könntest!?
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Hmmm.
Der Weg geht so:
Du setzt [mm] u=\wurzel{1-\cos{t}}, [/mm] bildest die Ableitung [mm] \bruch{du}{dt}, [/mm] formst nach [mm] \a{}dt [/mm] um und setzt erst einmal nur dieses in Dein Integral ein. Dann umformen und möglichst vereinfachen, und wenn noch irgendwelche Terme mit der Variablen t bleiben, musst Du sie neu durch die Variable u darstellen.
Wenn die Substitution geschickt war, dann erhältst Du ein deutlich vereinfachtes Integral in [mm] \a{}du, [/mm] das Du dann lösen kannst. Anschließend musst Du in der Lösung das u wieder ersetzen und bist fertig.
Probiers mal aus.
Zur Kontrolle: [mm] \integral{\wurzel{\cos{t}+1}\ dt}=2\wurzel{1-\cos{t}}+C
[/mm]
Wenn Du's nicht glaubst (weil es ja so anders aussieht als der Term beim Wolfram Integrator), dann mach einfach die Probe: leite es mal ab.
Wenn Du willst, kannst Du auch gerne Deinen Rechenweg hier einstellen, wenn Du nicht sicher bist, ob Du das richtig gerechnet hast. Herauskommen sollte schon die Kontroll-Lösung.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 13.01.2009 | | Autor: | oeli1985 |
Hey reverend,
bin inzwischen auch wieder darauf gekommen wie es ging (nach ewigem rumprobieren :-( ). na ja ... was ich aber noch gerne wissen würde ist:
Gibt es irgendeinen Trick, wie ich auf die entsprechende Substitution komme?
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Nein, leider nicht.
Ich habe erst einmal genau die dastehende Wurzel substituiert, [mm] u=\wurzel{\cos{t}+1}
[/mm]
Das ist oft geschickt, weil man ja beim Ableiten von u dann die Wurzel irgendwie "behält", sich aber mit der inneren Ableitung noch herumschlagen muss. Die lieferte einen Sinusterm, der aus u nicht darstellbar war. Ich habe trotzdem mal ins Integral eingesetzt, um mir die Verteilung der Funktionen etc. anzusehen.
Jetzt kommt es ein bisschen auf geschicktes Ausprobieren an. Mit Wissen um die dritte binomische Formel und den trigonometrischen Pythagoras liegt es dann aber nahe, die schon vorliegende Ableitung mit [mm] \wurzel{1-\cos{t}} [/mm] zu erweitern, und siehe da, der Sinus kürzt sich gegen den Nenner weg. Dann war klar, dass die zielführende Substitution irgendwie [mm] \wurzel{1-\cos{t}} [/mm] enthält. Also habe ich das erstmal "pur" ausprobiert (im Hinterkopf schon wissend, dass die meisten Probleme damit behoben sein dürften), und siehe da: kein weiterer Versuch nötig.
Integration durch Substitution ist eine Frage der Übung, des Gespürs, des Überblicks über die Auswirkungen kleiner Veränderungen an der Substitutionsformel, und ein Blick dafür, welche Ergebnisse nach Substitution eigentlich integrierbar sind. Und manchmal eine gehörige Portion Glück.
Also trotz Rekonstruktion des Weges: es gibt keinen Trick.
Sorry,
reverend
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