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Differentialgleichung: Anwendungsaufgabe, Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Do 26.10.2006
Autor: Phoney

Aufgabe
Eine kleine Kugel (als Massenpunkt m betrachtet) fällt in einer zähen Flüssigkeit wie z. B. Öl. Der Betrag der Reibungskraft sei durch [mm] $F_R [/mm] = -b*v$ gegeben, wobei b die Reibungskonstante ist. Die Bewegung verlaufe in z-Richtung sodass v=z mit einem Punkt oben drauf ist. Bestimme v(t) mit v(t=0) = 0 und die Endgeschwindigkeit [mm] v_e [/mm] für [mm] t\rightarrow \infty. [/mm]  

Hallo.

Erst einmal, wie stelle ich hier denn das z mit dem Punkt für die Ableitung da? Kann das jemand mal vor machen?

Aber das ist ja nicht die Hauptfrage, die Aufgabe schafft mich.

Also die Z-Richtung ist ja [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm]

Wenn ich das jetzt aber ableite, erhalte ich doch  [mm] \vektor{0\\0\\0}? [/mm]
Wol eher nicht, also baue ich in die Z-Richtung noch ein tfür die Zeit ein
[mm] \vektor{0\\0\\1t} [/mm] Wenn ich das ableite, erhalte ich für v aber [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm]

Ist auch irgendwie komisch. Dann integriere ich mal folgendes nach t

[mm] $F_R [/mm] = -b*v$


$v(t) = -bvt+c$

Scheint mir aber auch unsinnig zu sein.

Ich rechne, als Zeichen meines guten Willens, mal weiter

v(0) = c = 0

Dann habe ich die Lösung $v(t) = -bvt$

Und da setze ich jetzt für v einfach den Vektor in z Richtung ein

$v(t) = [mm] -bt*\vektor{0\\0\\1}$ [/mm]

Die Lösung macht aber keinen Sinn, jetzt würde die Kugel ja unendlich schnell werden.

Bitte alsoo um Hilfe!!!!


Viele Grüße
Johann



        
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Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Do 26.10.2006
Autor: galileo

Hi Phoney

Das ist eine Physikaufgabe.

[mm]\dot{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bruch{dz}{dt}[/mm]

Du wendest das II. Newtonesche Prinzip an.

Für ein Massenpunkt gilt:

[mm]F=m\, \bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]

wobei F die summe aller Kräfte ist, die auf den Massenpunkt wirken.

Aber:

[mm]v=\bruch{dz}{dt}[/mm]

Also, die gesuchte Differenzialgleichung ist:

[mm]mg-b\bruch{dz}{dt}-\rho gz=m\bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]

Alles klar?

Gruss
galileo

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Bezug
Differentialgleichung: Rechnung&Fragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Sa 28.10.2006
Autor: Phoney

Mojn Mojn.

> Das ist eine Physikaufgabe.

Also nächstes mal das Physikbrett?

> [mm]\dot{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bruch{dz}{dt}[/mm]
>  
> Du wendest das II. Newtonesche Prinzip an.
>  
> Für ein Massenpunkt gilt:
>  
> [mm]F=m\, \bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]
>  
> wobei F die summe aller Kräfte ist, die auf den Massenpunkt
> wirken.
>  
> Aber:
>  
> [mm]v=\bruch{dz}{dt}[/mm]
>  
> Also, die gesuchte Differenzialgleichung ist:
>  
> [mm]mg-b\bruch{dz}{dt}-\rho gz=m\bruch{d^{2}z}{dt^{2}}[/mm]
>  
> Alles klar?

Nein, die Idee schon, danke, dass du mir wenigstens einen Ansatz gibst.

Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, kann ich die Differenzialgleichung auch als

[mm] $g-\br{b}{m}v=\br{dv}{dt}$ [/mm] schreiben

Wir lösen Differenzialgleichungen immer mit Exponentialfunkionen, also sage ich mal, dass gilt

$v(t) [mm] =a*e^{-\lambda t}+c [/mm] = v$
$v'(t) = [mm] -\lambda a*e^{-\lambda t} =\br{dv}{dt} [/mm] $

Setze ich das ein, ergibt sich

[mm] $g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}$ [/mm]

Minus g, mal m ergibt erst einmal

[mm] $-\lambda [/mm] a [mm] e^{-\lambda t}m^2-gm [/mm] = [mm] -b(a*e^{\-lambda t}+c$ [/mm]


Nun teile ich durch -b, das ergibt dann

[mm] $\br{\lambda a e^{-\lambda t}m^2-gm}{b}=a*e^{\-lambda t}+c$ [/mm]

Allerdings habe ich hier als Kontrollergebnis stehen, [mm] $c=\br{m}{b}*g$ [/mm]

So sehe ich aber nicht, wie ich auf das Ergebnis komme.

Bitte um Hilfe.

Danke!

Wenn ich übrigens die Probe mache und das m/b*g für c einsetze, steht auf beiden seiten auch in der tat das selbe. wenn ich mich da jetzt nicht vertan habe.


Schöne Grüße
Johann

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Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 28.10.2006
Autor: Event_Horizon

Dein Ansatz ist völlig korrekt!

Aber ab hier machst du was komisches:

$ [mm] g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t} [/mm] $

Teile hier erstmal durch die e-Funktion, und bestimme [mm] \lambda [/mm] !

Dieses [mm] \lambda [/mm] setzt du in deinen Ansatz ein, und auch in die DGL. Dann kannst du c ausrechnen.


Nun schau dir deinen Ansatz nochmal an. In der e-Funktion steht was negatives. Für großt t wird die e-Funktion zu 0, und dann steht nur noch das c da. Und das ist die Lösung!

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: scheitere an der Rechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Sa 28.10.2006
Autor: Phoney

Guten Tag.

> Aber ab hier machst du was komisches:
>  
> [mm]g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t}[/mm]
>  
> Teile hier erstmal durch die e-Funktion, und bestimme
> [mm]\lambda[/mm] !

Ai ai ai, das ist schwierig. Also ich teile durch [mm] e^{-\lambda t} [/mm] und komme nun auf

[mm] $-\br{g}{e^{-\lambda t}}-\br{b}{m}a+\br{c}{e^{-\lambda t}}=- \lambda [/mm] m a$

Also

[mm] $-ge^{\lambda t}-\br{b}{m}+ce^{\lambda t}=-\lambda [/mm] m a$

Dann klammere ich es aus

[mm] $e^{\lambda t}(-g+c)=-\lambda [/mm] a m$

teile durch m und a

[mm] $-\lambda [/mm] = [mm] \br{e^{\lambda t}}{ma}(-g+c)$ [/mm]

Oder hätte ich schon vorher t=0 einsetzen sollen? Weil so bekomme ich ja kein lambda. LN kann ich schlecht anwenden.

Lieben Gruß
Johann


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Differentialgleichung: Fehler übersehen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Sa 28.10.2006
Autor: leduart

Hallo phoney

[mm]g-\br{b}{m}v=\br{dv}{dt}[/mm] schreiben

>  
> Wir lösen Differenzialgleichungen immer mit
> Exponentialfunkionen, also sage ich mal, dass gilt

Das geht aber nicht immer!

> [mm]v(t) =a*e^{-\lambda t}+c = v[/mm]
> [mm]v'(t) = -\lambda a*e^{-\lambda t} =\br{dv}{dt}[/mm]
>  
> Setze ich das ein, ergibt sich
>  
> [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]

Da steckt der Fehler, du hast c nicht mit b/m multipliziert.
richtig ist mit deinem Ansatz:
[mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+\br{b}{m}*c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]

hier gibts die 2 Möglichkeiten :
1. muss für alle a, also auch a=0 stimmen, daraus c=g*m/b
oder 2. muss für t gegen unendlich gelten, also für [mm] a*e^{-\lambda t}=0 [/mm]
wieder c.
dann fällt  g-c*b/m weg und du kannst [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
Gruss leduart


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Bezug
Differentialgleichung: Ich kriegs nicht hin...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Sa 28.10.2006
Autor: Phoney

Hallo.

> [mm]g-\br{b}{m}v=\br{dv}{dt}[/mm] schreiben
>  >  
> > Wir lösen Differenzialgleichungen immer mit
> > Exponentialfunkionen, also sage ich mal, dass gilt
>  Das geht aber nicht immer!
> > [mm]v(t) =a*e^{-\lambda t}+c = v[/mm]
> > [mm]v'(t) = -\lambda a*e^{-\lambda t} =\br{dv}{dt}[/mm]
>  >  
> > Setze ich das ein, ergibt sich
>  >  
> > [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]
>  
> Da steckt der Fehler, du hast c nicht mit b/m
> multipliziert.
>  richtig ist mit deinem Ansatz:
>   [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}+\br{b}{m}*c =-\lambda*m a*e^{-\lambda t}[/mm]
>
> hier gibts die 2 Möglichkeiten :
>  1. muss für alle a, also auch a=0 stimmen, daraus c=g*m/b
>  oder 2. muss für t gegen unendlich gelten, also für
> [mm]a*e^{-\lambda t}=0[/mm]
>   wieder c.

Das bringt mich auf das Ergebnis :)

>  dann fällt  g-c*b/m weg und du kannst [mm]\lambda[/mm] bestimmen.

Jetzt sehe ich alt aus. Bin wieder völlig überfordert.

Also c habe ich jetzt einfach mal so berechnet, dass a gleich null ist und ich dann nur noch habe

[mm] $g-\br{b}{m}c=0 \Rightarrow c=\br{gm}{b}$ [/mm]


Und wie bestimme ich nun [mm] \lambda? [/mm] Ich habe dazu zwei Rechnungen probiert, einmal, indem ich das c in die Gleichung $ [mm] g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+\br{b}{m}\cdot{}c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t} [/mm] $  eingesetzt habe

[mm] $g-\br{b}{m}ae^{-\lambda t}+\br{b}{m}\br{m}{b}g=-\lambda [/mm] m a [mm] e^{-\lambda t}$ [/mm]

Die Überlegung, dass t gegen Unendlich geht, hilft mir ja hier nicht weiter,d enn dann fällt das lambda weg. Und auch das mit dem a null hilft mir nicht weiter.

Also zu meinem zweiten Ansatz, dass [mm] g-\br{b}{m}c=0 [/mm] gleich Null ist.

Dann würde ich einfach v(t=0) = 0 berechnen

[mm] $a*e^{-\lambda 0} [/mm] + c = [mm] g-\br{b}{m}c$ [/mm]

Nun setze ich für c die Lösung ein

[mm] $a*e^{-\lambda 0} [/mm] + [mm] \br{gm}{b} [/mm] = [mm] g-\br{b}{m}\br{gm}{b}$ [/mm]

So fällt das Lambda ja weg...Ist also auch nicht die richtige Lösung.

Kann man mir noch einmal helfen?

Ganz liebes Danke schon mal!


Grüße,
Johann

Bezug
                                        
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Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Sa 28.10.2006
Autor: leduart

Hallo Johann

> > Da steckt der Fehler, du hast c nicht mit b/m
> > multipliziert.

  richtig ist mit deinem Ansatz:
[mm] g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t} [/mm] - [mm] \br{b}{m}*c =-\lambda* [/mm] m    [mm] a*e^{-\lambda t} [/mm]
Da war noch ein Vorzeichenfehler.
und m auf der rechten Seite stand  da auch ohne jeden Grund!
c=g*m/b

>  >  oder 2. muss für t gegen unendlich gelten, also für
> > [mm]a*e^{-\lambda t}=0[/mm]
>  >   wieder c.
>  
> Das bringt mich auf das Ergebnis :)
>  
> >  dann fällt  g-c*b/m weg und du kannst [mm]\lambda[/mm] bestimmen.

>  
> Jetzt sehe ich alt aus. Bin wieder völlig überfordert.
>  
> Also c habe ich jetzt einfach mal so berechnet, dass a
> gleich null ist und ich dann nur noch habe
>  
> [mm]g-\br{b}{m}c=0 \Rightarrow c=\br{gm}{b}[/mm]

da hast du gemogelt, siehe oben  

>
> Und wie bestimme ich nun [mm]\lambda?[/mm] Ich habe dazu zwei
> Rechnungen probiert, einmal, indem ich das c in die
> Gleichung [mm]g-\br{b}{m}a\cdot{}e^{-\lambda t}+\br{b}{m}\cdot{}c =-\lambda\cdot{}m a\cdot{}e^{-\lambda t}[/mm]
>  eingesetzt habe

richtig!
[mm]g-\br{b}{m}ae^{-\lambda t}-\br{b}{m}\br{m}{b}g=-\lambda a e^{-\lambda t}[/mm]
mit verbessertem Vorzeichen! und ohne das m

> Die Überlegung, dass t gegen Unendlich geht, hilft mir ja
> hier nicht weiter,d enn dann fällt das lambda weg. Und auch
> das mit dem a null hilft mir nicht weiter.
>  
> Also zu meinem zweiten Ansatz, dass [mm]g-\br{b}{m}c=0[/mm] gleich
> Null ist.

das ist es auf jeden Fall!
Dann hast du
[mm] -br{b}{m}ae^{-\lambda t}=-\lambda [/mm]  a [mm] e^{-\lambda t} [/mm]
jetzt kannst du durch [mm] e^{-\lambda t} [/mm] dividieren, oder einfach
[mm] \lambda=-\br{b}{m} [/mm]
klar? da waren ein paar zu viele Leichtsinnsfehler drin.
Gruss leduart

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Bezug
Differentialgleichung: Warum ohne m?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:41 Sa 28.10.2006
Autor: Phoney

Nabend.
>    richtig ist mit deinem Ansatz:
>  [mm]g-\br{b}{m}a*e^{-\lambda t}[/mm] - [mm]\br{b}{m}*c =-\lambda*[/mm] m    
> [mm]a*e^{-\lambda t}[/mm]

> richtig!
>   [mm]g-\br{b}{m}ae^{-\lambda t}-\br{b}{m}\br{m}{b}g=-\lambda a e^{-\lambda t}[/mm]
>  
> mit verbessertem Vorzeichen! und ohne das m

Wieso fällt denn das m weg? Es ist doch [mm] m*\br{dv}{dt}. [/mm] also m*v'
Und warum fällt es nun weg?

Gruß
Phoney

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichung: Hat sich erledigt!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Sa 28.10.2006
Autor: Phoney

Oh man, ich verpfusche alles.
Ziemlich am Anfang haben wir durch m geteilt, daher verschwindet es da auch.

Ich danke euch allen. Toll, dass es dieses Forum gibt. Hier lerne ich ja richtig etwas :)
Also vielen vielen dank!

Gruß
Johann

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