Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:16 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matheja |
Hi.
Ich komm mit folgender mit folgender Aufagabe nicht ganz klar und würd mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
| Aufgabe | Gegeben sei eine beliebig oft differenzierbare Funktion y = y(x), die die folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung und die Anfangsbedingungen
y´´(x) = −y(x) und y(0) = 0 , y´(0) = 1
erfullt. Ermitteln Sie die k-te Ableitung [mm] y^{k}(x_0) [/mm] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0, indem Sie die Differentialgleichung
wiederholt ableiten. Geben Sie die Taylor-Reihe mit der Entwicklungsstelle [mm] x_0 [/mm] = 0
fur die Funktion y(x) an.
Welche Funktion hat diese Taylor-Entwicklung ? Uberprufen Sie, ob diese Funktion die Differentialgleichung
und die Anfangsbedingungen erfullt. |
Meine Ansätze
1.k-te Abletung an der Stelle [mm] x_0=0
[/mm]
Ich habs mit Differentialqutienten probiert bin aber nicht weitergekommen:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}=\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}=\bruch{y(x_0+h)-y(x_0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}=\bruch{-y(x_0+h)--y(x_0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}=\bruch{-x_0-h+x_0}{h}=-1 [/mm] sowohl das Ergebnis macht micht ein wenig stützig , da k mal abzuleiten war und schon nach einmaliger Ableitung 1 ergalte=> k-te Ableitunf 0 ?
2.Taylorreihe mit entwicklungsstelle [mm] x_0=0
[/mm]
Gegeben:
y=y(x)
y(0)=0
y´(0)=1
y´´(0)=-y´(x)=-1
So wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe soll ein Taylorpolynom 3,Grades angeben:
[mm] T_1(x)=0
[/mm]
[mm] T_2(x)=1x
[/mm]
[mm] T_3(x)=1x-0,5x^{2}
[/mm]
3.Überprüfen ob diese Funktion die Anfangsbedingungen erfüllt und die Differentialgleichung.
3.1 Anfangsbedingungen:
es ist zu überprüfen:
[mm] T_1(0)=y(0)=0 [/mm] (erfüllt)
[mm] T_2(0)=y^{1}(0)=1 [/mm] (nicht erfüllt) da stímmt was nicht
3.2 Differntialgleichung:
[mm] T_3(0)=y^{2}(0)=-y´(0)=-1( [/mm] auch nict erfüllt) irgendwo liegt ein Fehler?ß
DANKE im vorraus
matheja
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheja!
Hier mal ein Tipp für den ersten Auifgabenteil: leite einfach die Gleichung $y''(x) \ = \ -y(x)$ auf beiden Seiten ab. Damit erhältst Du: $y'''(x) \ = \ -y'(x)$ .
Damit haben wir auch den Wert für $y'''(0)_$ . Und so weiter ... Daraus erhälst Du doch dann auch Deine $k_$-te Ableitung [mm] $y^{(k)}(x)$ [/mm] .
Und damit sollte dann auch die Taylor-Reihe schnell formuliert sein.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Achso ist das gemeint ....Danke! |
Also:
zu 1.
y=y(x)
y´´(x)=-y´(x)
y´´´(x)=-y´´(x)
[mm] y^{4}(x)=-y´´(x)
[/mm]
=> [mm] y^{k}(x)=-y^{k-1}
[/mm]
y(0)=0
y´(0)=1
y´´(0)=0
y´´´(0)-1
[mm] y^{4}(0)=0
[/mm]
...
Die Taylorreihe wär also folgendermaßen definiert:
[mm] T_n(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{y^{k-1}(x_0)}{k!}*(x-x_0)
[/mm]
Die Taylorfunktion:
=> [mm] T_n(x)=0+1x-0,5x^{2}+0+\bruch{1}{24}x^{4}.....\pm\bruch{y^{k-1}(x_0)}{k!}*(x-x_0)
[/mm]
hoff, dass das so richtig ist
zur 3(Überprüfung des Anfangsbedingungen und Diferntialgleichung)
Um zu überprüfen, dass die [mm] T_n(x) [/mm] die Anfangsbedingung erfüllt müsste ich
[mm] T_1(x)=0
[/mm]
[mm] T_2(x)=x
[/mm]
[mm] T_3(x)=x
[/mm]
[mm] T_4(x)=x-\bruch{1}{24}x^{4}
[/mm]
[mm] T_1(0)=y(0).=0... [/mm] ist erfült
[mm] T_2(0)=y´(0)=1... [/mm] nicht erfüllt
[mm] T_3(0)=y´´(0)=0 [/mm] ...nicht erfült
also das kommt mir doch einwenig schleierhaft vor
zeigen.
Eine Dankeschön im vorraus
matheja
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matheja |
> [mm]T_n(x)=0+1x-0,5x^{2}+0+\bruch{1}{24}x^{4}.....\pm\bruch{y^{k-1}(x_0)}{k!}*(x-x_0)[/mm]
müsste aber heißen, da
[mm]T_n(x)=0+1x-\bruch{1}{6}x^{3}.....\pm\bruch{y^{k-1}(x_0)}{k!}*(x-x_0)[/mm]
> [mm]T_1(0)=y(0).=0...[/mm] ist erfült
> [mm]T_2(0)=y´(0)=1...[/mm] nicht erfüllt
> [mm]T_3(0)=y´´(0)=0[/mm] ...nicht erfült
[mm]T_1(0)=y(0).=0...[/mm] ist erfült
[mm]T_2(0)=y^{1}(0)=1...[/mm] nicht erfüllt
[mm]T_3(0)=y^{2}(0)=0[/mm] ...nicht erfült
>
> also das kommt mir doch einwenig schleierhaft vor
>
> zeigen.
>
>
> Eine Dankeschön im vorraus
>
> matheja
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Achso ist das gemeint ....Danke!
> Also:
>
> zu 1.
>
> y=y(x)
y(0)=0
> y´´(x)=-y´(x)
Das ist falsch, du hast doch y''=-y also y''(o)=0
> y´´´(x)=-y´´(x)
y'''=y' ; y'''(0)=1 usw, d,h. alle ungeraden Ableitungen sind 1, alle geraden sind 0
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Mmh ...ja entschuldige.Danke für deine Korrektur.Aber ist denn die k-te ableitung , die Taylorreihe und die Überprüfung der Anfangsbedingungen korrekt. |
K-te Ableitung:
[mm] y^{k}(x_0)=-y^{k-2}(x_0)
[/mm]
und zur Überprüfung der anfangsbedingungen und Diffgl':
[mm] T_1(x)=0
[/mm]
[mm] T_2(x)=x
[/mm]
[mm] T_3(x)=x-\bruch{1}{24}x^{3}
[/mm]
es soll gelten
[mm] y(0)=T_1(0)=0 [/mm] gilt.
[mm] y´(0)=T_2(x)=1 [/mm] gilt nicht
[mm] y´´(0)=T_3(x)=-1 [/mm] ´gilt auch nicht
wo liegt mein Fehler
und sind alle übrigen überlegungen (Taylorreihe, k-te Ableizung; Überprüfung der anfangsbedingungen und der Diffgl. )denn überhaupt
richtig
Eine Dankeschön im vorraus
matheja
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Mmh ...ja entschuldige.Danke für deine Korrektur.Aber ist
> denn die k-te ableitung , die Taylorreihe und die
> Überprüfung der Anfangsbedingungen korrekt.
> K-te Ableitung:
>
> [mm]y^{k}(x_0)=-y^{k-2}(x_0)[/mm]
>
Das ist nicht falsch, aber daraus sollte man schliessen k=2n [mm] y^{(k)}=0
[/mm]
k=2n+1 [mm] y^{(k)}=1
[/mm]
und damit kannst du die Taylorreihe bis unendlich hinschreiben! Oder wenigsten allgemein bis n
[mm] Tn=\summe_{i=1}^{n}......
[/mm]
> und zur Überprüfung der anfangsbedingungen und Diffgl':
>
> [mm]T_1(x)=0[/mm]
> [mm]T_2(x)=x[/mm]
T2(0)=0 wie es sein soll, T2'(0)=1 auch die richtige Anfanfsbed.
T3(0)=0, T3'(0)=1
> [mm]T_3(x)=x-\bruch{1}{24}x^{3}[/mm]
>
> es soll gelten
> [mm]y(0)=T_1(0)=0[/mm] gilt.
> [mm]y´(0)=T_2(x)=1[/mm] gilt nicht
> [mm]y´´(0)=T_3(x)=-1[/mm] ´gilt auch nicht
Nein das soll nicht gelten. T3 soll doch die anfangsbed. erfüllen und die sind T3'(0)=1 die Dgl bei 0 erfüllt sie weil T3''(0)=0
> wo liegt mein Fehler
In dem, was du anscheinend falsches zeigen willst.
> und sind alle übrigen überlegungen (Taylorreihe, k-te
> Ableizung; Überprüfung der anfangsbedingungen und der
> Diffgl. )denn überhaupt
> richtig
Siehe oben
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matheja |
Dankeschön Leduart!
Mein Fehler bei Überprufung der anfangsbedingungen und der Differntialgl war, dass ich die Taylorpolynome nicht abgeleitet habe.
für [mm] T_n(x)\summe_{i=0}^{n}=\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}=x+\bruch{1}{3!}x^{3}+\bruch{1}{5!}x^{5}+....+\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Gruß
matheja
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch ein Fehler:
> Dankeschön Leduart!
>
> Mein Fehler bei Überprufung der anfangsbedingungen und der
> Differntialgl war, dass ich die Taylorpolynome nicht
> abgeleitet habe.
>
> für
[mm]T_n(x)\summe_{i=0}^{n}=\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}=x+\bruch{1}{3!}x^{3}+\bruch{1}{5!}x^{5}+....+\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
Wenn du die Summe ausführst, so wie sie da steht, kommen auch die geraden exponenten vor, wenn n=1,3 usw. ist.
richtig ist also :
[mm] T_{2n+1}(x)=\summe_{i=0}^{n}=\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}
[/mm]
[mm] T_{2n}=T{2n-1} n\ge1; T_0=0
[/mm]
Damit ist auch dein letztes Glied falsch! setz einfach n=3 dann siehst dus!
gerade Zahlen schreibt man immer als 2n oder 2i, ungerade als 2n+1
ausserdem hast du die Summe falsch geschrieben es wird bis n summiert, aber über i
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matheja |
Man sieht heute geht nichts mehr.
Vielen vielen Dank für dein Hilfe!
lg
matheja
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 28.01.2008 | | Autor: | seboissa |
Hey eine zwischen Frage:
kann es sein das y'''(x) = - y'(x) ist und damit an der Stelle Xo=0 y'''(0)=-1?
wo liegt mein Fehler wenn ich einen hab?
Habe es mal einfach mit der Dgl gemacht und sorry ich bekomme das immer raus.
irgendwie hängts da bei mir! *wunder*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mo 28.01.2008 | | Autor: | seboissa |
sehr gut und wenn ich mir so den Aufgabentext durchlese brauche ich auch kein T1 oder T3 oder so!
Und die Taylor-Reihe ist bei mir auch irgendwie anders?
ich werd meine aber nochmal überprüfen.
Auf jeden Fall ist es mal sicher die Sinus Funktion! 
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das habe ich auch erhalten ...
