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| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm] y^*+\bruch{t}{3y^2}=0
[/mm]
für y(t) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. |
Hallo, ist der Ansatz "Trennung der Vareablen" in diesem Fall richtig um die Aufgabe zulösen?
gruß capablanca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die Differentialgleichung
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> [mm]y^*+\bruch{t}{3y^2}=0[/mm]
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> für y(t) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1.
> Hallo, ist der Ansatz "Trennung der Vareablen" in diesem
> Fall richtig um die Aufgabe zulösen?
Ja
FRED
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> gruß capablanca
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Aufgabe
Lösen Sie die Differentialgleichung
$ [mm] y^\cdot{}+\bruch{t}{3y^2}=0 [/mm] $
für y(t) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1.
Ok, ist meine Lösung soweit richtig, bitte um Korrektur:
Hier funktioniert die Methode der Trennung der Variablen. Es ergibt sich:
[mm] \bruch{dy}{dt}+\bruch{t}{3y^2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dt}=-\bruch{t}{3y^2}
[/mm]
[mm] 3y^2*dy=-t*dt
[/mm]
[mm] \integral3y^2*dy=-\integral [/mm] t*dt
[mm] y^3=-1/2*t^2+C
[/mm]
C=1 (da für y(t) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. gilt)
[mm] y^3+1/2t^2-1=0
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Wie löse ich jetzt am besten die Gleichung nach y auf, ich muss also hier die Nullstellen von y rausfinden ist das korrekt?
gruß capablanca
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Hallo Alex,
> Aufgabe
> Lösen Sie die Differentialgleichung
>
> [mm]y^\cdot{}+\bruch{t}{3y^2}=0[/mm]
>
> für y(t) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1.
>
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>
> Ok, ist meine Lösung soweit richtig, bitte um Korrektur:
>
> Hier funktioniert die Methode der Trennung der Variablen.
> Es ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{dy}{dt}+\bruch{t}{3y^2}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dt}=-\bruch{t}{3y^2}[/mm]
>
> [mm]3y^2*dy=-t*dt[/mm]
>
> [mm]\integral3y^2*dy=-\integral[/mm] t*dt
>
> [mm]y^3=-1/2*t^2+C[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> C=1 (da für y(t) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. gilt)
>
> [mm]y^3+1/2t^2-1=0[/mm]
Besser aus der obigen Form:
[mm] $y^3=-\frac{1}{2}t^2+C\Rightarrow y=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}t^2+C}$
[/mm]
Und mit der Anfangsbedingung: [mm] $y=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}t^2+1}$
[/mm]
Zur vollständigen Lösung gehört noch die Angabe des Definitionsbereiches ...
Also [mm] $y:\mathbb{D}\to\IR, [/mm] \ \ [mm] y\mapsto\sqrt[3]{-\frac{1}{2}t^2+1}$
[/mm]
Was ist [mm] $\mathbb{D}$?
[/mm]
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> Ist das soweit richtig?
> Wie löse ich jetzt am besten die Gleichung nach y auf,
> ich muss also hier die Nullstellen von y rausfinden ist das
> korrekt?
>
> gruß capablanca
>
>
LG
schachuzipus
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Danke erstmal!
Der Definitionsbereich einer Wurzelfunktion besteht aus positive Zahlen und Null, ist die Antwort ok?
gruß
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Hallo capablanca!
Genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo capablanca!
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>
> Genau.
Hallo Roadrunner,
da bin ich anderer Meinung !
FRED
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal!
>
> Der Definitionsbereich einer Wurzelfunktion besteht aus
> positive Zahlen und Null, ist die Antwort ok?
Nein . Zunächst steht unter der 3. Wurzel : [mm] -\frac{1}{2}t^2+1
[/mm]
Damit diese Wurzel überhaupt definiert ist , muß [mm] -\frac{1}{2}t^2+1 \ge [/mm] 0 sein.
Dein y soll Lösung des Anfangswertproblems sein, also sollte y differenzierbar sein. Somit muß gelten: [mm] -\frac{1}{2}t^2+1 [/mm] > 0
Fazit:
[mm] $y(t)=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}t^2+1}$ [/mm]
ist Lösung des AWPs auf dem maximalen Existenzintervall
[mm] $\mathbb{D}= (-\wurzel{2}, \wurzel{2})
[/mm]
FRED
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> gruß
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