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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 17.01.2011 | | Autor: | MrMojo |
| Aufgabe | Allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung?
y' - y/x + [mm] y^2/2x [/mm] = [mm] 2/x^3
[/mm]
unter verwendung einer Partikulärlösung der Form y(p) = a + b/x |
Ich beginne mit einer Substitution,
y/x = z z'= z+ xz' y = zx
y' - z +(y/2)z = [mm] 2/x^3
[/mm]
z+ xz' - z + (zx/2)z = [mm] 2/x^3
[/mm]
xz' + [mm] (xz^2)/2 [/mm] = [mm] 2/x^3 [/mm] /:x
z' + [mm] (z^2)/2 [/mm] = 2/ [mm] x^4 [/mm] --> danach integriere ich das ganze
z + [mm] (z^3)/6 [/mm] = 2* [mm] ln(x^4) [/mm] +c --> danach Rücksubstitution
y/x + [mm] ((y/x)^3)/6 [/mm] = 2* [mm] ln(x^4) [/mm] +c /*6
6* (y/x) + [mm] y^3/x^3 [/mm] = 12* [mm] lnx^4 [/mm] +c
Soweit bin ich gekommen, aber wie geht es von diesem Punkt an weiter ?
Wie kann ich danach die Partikulärlösung einsetzen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MrMojo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung?
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> y' - y/x + [mm]y^2/2x[/mm] = [mm]2/x^3[/mm]
>
> unter verwendung einer Partikulärlösung der Form y(p) = a
> + b/x
> Ich beginne mit einer Substitution,
> y/x = z z'= z+ xz' y = zx
>
> y' - z +(y/2)z = [mm]2/x^3[/mm]
>
> z+ xz' - z + (zx/2)z = [mm]2/x^3[/mm]
>
> xz' + [mm](xz^2)/2[/mm] = [mm]2/x^3[/mm] /:x
> z' + [mm](z^2)/2[/mm] = 2/ [mm]x^4[/mm] --> danach integriere ich das
> ganze
> z + [mm](z^3)/6[/mm] = 2* [mm]ln(x^4)[/mm] +c --> danach Rücksubstitution
> y/x + [mm]((y/x)^3)/6[/mm] = 2* [mm]ln(x^4)[/mm] +c /*6
>
> 6* (y/x) + [mm]y^3/x^3[/mm] = 12* [mm]lnx^4[/mm] +c
>
> Soweit bin ich gekommen, aber wie geht es von diesem Punkt
> an weiter ?
> Wie kann ich danach die Partikulärlösung einsetzen ?
Setze den Ansatz für die Partikulärlösung in die DGL
[mm]y' - \bruch{1}{x}*y+ \bruch{1}{2x}*y^{2} = \bruch{2}{x^{3}}[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erhältst Du dann die Unbekannten a und b.
Dann machst Du den Ansatz:
[mm]y_{2}\left(x\right)=y_{p}\left(x\right)+\bruch{1}{z\left(x\right)}[/mm]
Diesen Ansatz setzt Du jetzt in die gegebene DGL ein.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 17.01.2011 | | Autor: | MrMojo |
| Aufgabe | | y' - 1/x *y + 1/2x * [mm] y^2 [/mm] = 2 / [mm] x^3 [/mm] |
Dankeschön MathPower,
Ich soll nun den Ansatz in die DGl einsetzen, versteh ich nicht ganz
und wie mach ich an der stelle den Koeffizienten vergleich ?
Liebe Grüße
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Hallo MrMojo,
> y' - 1/x *y + 1/2x * [mm]y^2[/mm] = 2 / [mm]x^3[/mm]
> Dankeschön MathPower,
>
> Ich soll nun den Ansatz in die DGl einsetzen, versteh ich
> nicht ganz
>
Setze [mm]y=a+\bruch{b}{x}[/mm] in die DGL ein.
> und wie mach ich an der stelle den Koeffizienten vergleich
> ?
Hier vergleichst Du die Koeffizienten
vor gleichen Potenzen links und rechts.
Ist eine Potenz auf einer Seite nicht vorhanden,
so ist deren Koeffizient 0.
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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