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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:25 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Hab eine DG bei der ich nicht weiter weiß und ein wenig Hilfe bräuchte:
[mm] (x^2*y-1) [/mm] dx + [mm] (x*y^2-1) [/mm] dy = 0
nun handelt es sich hierbei um keine exakte DG; eine Substitution, welche mich weiter bringen könnte ist mir noch nicht eingefallen, deshalb denke ich, dass man einen integrierenden Faktor finden muss um sie zu lösen.
Leider komme ich auch nicht auf so einen.
Hat irgendwer eine Idee wie ich hier weiter kommen kann??
Vielen Dank
mfg.
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Hallo Skydiver,
> Hab eine DG bei der ich nicht weiter weiß und ein wenig
> Hilfe bräuchte:
>
> [mm](x^2*y-1)[/mm] dx + [mm](x*y^2-1)[/mm] dy = 0
>
> nun handelt es sich hierbei um keine exakte DG; eine
> Substitution, welche mich weiter bringen könnte ist mir
> noch nicht eingefallen, deshalb denke ich, dass man einen
> integrierenden Faktor finden muss um sie zu lösen.
> Leider komme ich auch nicht auf so einen.
Diese DGL stellt ein sogenanntes vollständiges Differential dar:
[mm]F_x \left( {x,\;y} \right)\;dx\; + \;F_y \left( {x,\;y} \right)\;dy\; = \;0[/mm]
Als Lösung erhältst Du dann eine implizite Funktion
[mm]F(x,y)\; = \;0[/mm]
Um das jetzt auf eine allgemeine DGL obiger Gestalt zu verallgemeinern:
[mm]g(x,y)\;dx\; + \;h(x,y)\;dy\; = \;0[/mm]
Zur Lösung kommt man dann mit folgenden Schritten:
[mm]
\begin{gathered}
\int {g\left( {x,\;y} \right)\;dx\; = \;F(x,y)\; + \;\varphi \left( y \right)} \hfill \\
\Rightarrow \;h\left( {x,\;y} \right)\; = \;F_y \left( {x,\;y} \right)\; + \;\varphi _y \left( y \right) \hfill \\
\Rightarrow \;\varphi \; = \;\int {h\left( {x,\;y} \right)\; - \;} F_y \left( {x,\;y} \right)\;dy \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Wie schon erwähnt, man erhält eine implizite Funktion [mm]F(x,y)\; = \;0[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
Ich glaube nicht, dass es ein vollständiges Differential ist. Dazu müsste die Differentialgleichung ja exakt sein. Aber es gilt ja: [mm] $F_{xy} \ne F_{yx}$, [/mm] wie der Fragesteller schon angemerkt hat. Daher braucht man schon einen integrierenden Faktor (wobei ich auch keinen sehe) oder muss es ganz anders lösen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Fr 23.09.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Stefan,
> Ich glaube nicht, dass es ein vollständiges Differential
> ist. Dazu müsste die Differentialgleichung ja exakt sein.
> Aber es gilt ja: [mm]F_{xy} \ne F_{yx}[/mm], wie der Fragesteller
> schon angemerkt hat. Daher braucht man schon einen
> integrierenden Faktor (wobei ich auch keinen sehe) oder
> muss es ganz anders lösen...
[mm]
\begin{gathered}
F(x,y\left( x \right))\; = \;0 \hfill \\
\frac{d}
{{dx}}:F_x \left( {x,y} \right)\; + \;F_y \left( {x,\;y} \right)\;\frac{{dy}}
{{dx}}\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;F_x \left( {x,\;y} \right)\;dx\; + \;F_y \left( {x,\;y} \right)\;dy\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
Ich verstehe nicht ganz, was du dort machst.
Nach deiner Gleichung müsste ja
[mm] $F_x(x,y) [/mm] = x^2y-1$
und
[mm] $F_y(x,y)=xy^2 [/mm] -1$
sein, oder verstehe ich das falsch?
Dann aber wäre i.A. (außer im Punkt $(0/0)$) [mm] $F_{xy} \ne F_{yx}$, [/mm] Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Fr 23.09.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
> Ich verstehe nicht ganz, was du dort machst.
>
> Nach deiner Gleichung müsste ja
>
> [mm]F_x(x,y) = x^2y-1[/mm]
>
> und
>
> [mm]F_y(x,y)=xy^2 -1[/mm]
>
> sein, oder verstehe ich das falsch?
>
> Dann aber wäre i.A. (außer im Punkt [mm](0/0)[/mm]) [mm]F_{xy} \ne F_{yx}[/mm],
> Widerspruch
ok, Stefan, Du hast gewonnen.
Es muß doch wohl ein integrierender Faktor gefunden werden.
[mm](M\;g)\;dx\; + \;\left( {M\;h} \right)\;dy\; = \;0[/mm]
Die Integrabilitätsbedinung
[mm]\frac{{\delta M\;g}}
{{\delta y}}\; = \;\frac{{\delta M\;h}}
{{\delta x}}[/mm]
und anschließendem Separationsansatz
[mm]M(x,\;y)\; = \;\varphi _1 \left( x \right)\;\varphi _2 \left( y \right)[/mm] führt auf eine partielle DGL 1. Ordnung.
Eine andere Möglichkeit ist mir noch nicht eingefallen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Skydiver,
habe zwar keine wirkliche Lösung (was wage ich mich auch als hiesiger Neuling gleich an so ein schwieriges Problem...), aber zumindest eine Idee:
Wichtig scheint mir zu sein, daß die DG symmetrisch in $x$ und $y$ ist. Wenn man sich nun die Lösungskurven mal in der $(x,y)$-Ebene grob skizziert, glaubt man recht schnell, daß es tatsächlich eine Funktion $F(x,y)$ gibt, sodaß [mm] $F(x,y)\; [/mm] = [mm] \;\textrm{const.}$ [/mm] die Schar der Lösungskurven beschreibt. (Im allgemeinen braucht es ein solches globales $F$ nicht zu geben.)
Wenn man nun von der Existenz eines solchen Funktion $F$ ausgeht, könnte man ja mal den Taylor-Ansatz [mm] $F(x,y)=\sum_{i,j}a_{ij}x^iy^j$ [/mm] versuchen und die Bedingung [mm] $F_x [/mm] (x,y) / [mm] F_y (x,y)\;=\;(x^2y-1) [/mm] / [mm] (xy^2-1)$ [/mm] auswerten.
Ich weiß, es ist eine unschöne Holzhammer-Methode. Aber vielleicht inspirieren die resultierenden Koeffizienten [mm] $a_{ij}$ [/mm] ja weitere Ideen?
Grüße,
Galois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 So 25.09.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Skydiver!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht (vollständig) in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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