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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 28.05.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der Differentialgleichung
y' = [mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}}, [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] U = [mm] \IR \times (0,\infty).
[/mm]
Achten Sie dabei auch auf die Definitionsbereiche der Lösungen. Skizzieren Sie die Lösungsgesamtheit. |
Hallo,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich anfangen soll, da ich noch nicht allzu vertraut mit derartigen Differentialgleichungen bin.
Ich weiß soweit, dass es eine Differentialgleichung 1.Ordnung ist, aber verstehe nicht so ganz was mit dem 2.Teil oben gemeint ist bzw. inwiefern ich das bei der Rechnung berücksichtigen muss.
x,y soll ja aus der Umgebung U gewählt werden, die sich aus dem Kreuzprodukt der Reellen Zahlen und der Menge [mm] (0,\infty) [/mm] ergeben soll.
Aber was mach ich nun damit, wie fange ich an?
Bin für jeden Tipp, jede Hilfe oder Lösungsansatz dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit der
> Differentialgleichung
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> y' = [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}},[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] U = [mm]\IR \times (0,\infty).[/mm]
Substituiere [mm] z:=\frac{x}{y}.
[/mm]
>
> Achten Sie dabei auch auf die Definitionsbereiche der
> Lösungen. Skizzieren Sie die Lösungsgesamtheit.
> Hallo,
>
> ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß nicht so recht
> wie ich anfangen soll, da ich noch nicht allzu vertraut
> mit derartigen Differentialgleichungen bin.
>
> Ich weiß soweit, dass es eine Differentialgleichung
> 1.Ordnung ist, aber verstehe nicht so ganz was mit dem
> 2.Teil oben gemeint ist bzw. inwiefern ich das bei der
> Rechnung berücksichtigen muss.
> x,y soll ja aus der Umgebung U gewählt werden, die sich
> aus dem Kreuzprodukt der Reellen Zahlen und der Menge
> [mm](0,\infty)[/mm] ergeben soll.
Finde erst einmal eine Lösung für y>0. Dann kannst du dir Gedanken über den Definitionsbereich machen.
LG
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Es geht viel einfacher: Diese Differentialgleichung ist vom Typ getrennte Variable, du kannst sie durch Trennung der Variablen direkt lösen (vergiss die Substitution, viel zu aufwendig), d.h.
[mm] \[\bruch{dy}{dx}=\bruch{x^{2}}{y^{2}}\]
[/mm]
[mm] \[\int y^{2}dy=\int x^{2}dx\]
[/mm]
[mm] \[y^{3}=x^{3}+C\]
[/mm]
[mm] \[y=(x^{3}+C)^{1/3}\]
[/mm]
Die Konstante kannst du vereinfachen ("3C=C"). Und fertig, das ist die allgemeine Lösung.
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