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Differentialgleichung 2.Ordnun: Bitte um Hilfe der Lösungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

Aufgabe
Lösen sie die Differentialgleichung:
y``-y`-2y=cos(x)+3*sin(x)
Anfangsbedingungen: y(0)=1 ; y`(0)=1

So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:

Homogene Lösung: [mm] k^2-k-2=0 [/mm]

[mm] k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}} [/mm]

[mm] k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}*i [/mm]

Fall 3:
[mm] yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})) [/mm]

Lösung der inhomogenen nach tabelle:
Für cos(x):
yp=A*sin(x)+B*cos(x)
yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
Einsetzen wird zu:
sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)

Koeffizientenvergleich:
sin(x): -3A+B=0 (1)
cos(x):-A-3B=1  (2)

=>10B=-3=> B=-0,3

Einsetzen ins die (1)

Ergibt für A=-0,1

[mm] yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x) [/mm]


Jetzt für 3*sin(x):
Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:

sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)

Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1

so ist:
[mm] yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x) [/mm]

yallg.:
[mm] yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x) [/mm]



Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen machen?


        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Fr 05.02.2010
Autor: fred97


> Lösen sie die Differentialgleichung:
>  y''-y'-2y=cos(x)+3*sin(x)
>  Anfangsbedingungen: y(0)=1 ; y'(0)=1
>  So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:
>  
> Homogene Lösung: [mm]k^2-k-2=0[/mm]
>  
> [mm]k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}[/mm]
>  
> [mm]k_{1/2}= +\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{7}{4}}*i[/mm]


Was hast Du da gerechnet ? Übe nochmal die pq-Formel.

Die Gleichung [mm]k^2-k-2=0[/mm] hat die Lösungen [mm] k_1=2 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] = -1

FRED


>  
> Fall 3:
>  
> [mm]yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))[/mm]
>  
> Lösung der inhomogenen nach tabelle:
>  Für cos(x):
>  yp=A*sin(x)+B*cos(x)
>  yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
>  yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
>  Einsetzen wird zu:
>  sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)
>  
> Koeffizientenvergleich:
>  sin(x): -3A+B=0 (1)
>  cos(x):-A-3B=1  (2)
>  
> =>10B=-3=> B=-0,3
>  
> Einsetzen ins die (1)
>  
> Ergibt für A=-0,1
>  
> [mm]yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x)[/mm]
>  
>
> Jetzt für 3*sin(x):
>  Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:
>  
> sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)
>  
> Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
>  Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1
>  
> so ist:
>  [mm]yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>  
> yallg.:
>  
> [mm]yh=e^{\bruch{1}{2}*x}(C1*cos(\wurzel{\bruch{7}{4}*x})+C2*sin(\wurzel{\bruch{7}{4}*x}))-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>  
>
>
> Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann
> wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder
> keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen
> machen?
>  


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

stimmt mein fehler: dann ist [mm] yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-1x} [/mm] ok. aber der teil von der störfunktion sieht ja gleich aus:
So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:



Lösung der inhomogenen nach tabelle:
Für cos(x):
yp=A*sin(x)+B*cos(x)
yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
Einsetzen wird zu:
sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)

Koeffizientenvergleich:
sin(x): -3A+B=0 (1)
cos(x):-A-3B=1  (2)

=>10B=-3=> B=-0,3

Einsetzen ins die (1)

Ergibt für A=-0,1

[mm] yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x) [/mm]


Jetzt für 3*sin(x):
Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:

sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)

Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1

so ist:
[mm] yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x) [/mm]

yallg.:
[mm] yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-2x}-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x) [/mm]



Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen machen?


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> stimmt mein fehler: dann ist [mm]yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}[/mm] ok.
> aber der teil von der störfunktion sieht ja gleich aus:
>  So mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:
>  
>
>
> Lösung der inhomogenen nach tabelle:
>  Für cos(x):
>  yp=A*sin(x)+B*cos(x)
>  yp´=A*cos(x)-B*sin(x)
>  yp´´=-A*sin(x)-B*cos(x)
>  Einsetzen wird zu:
>  sin(x)*(-3A+1B)+cos(x)*(-1A-3B)=cos(x)
>  
> Koeffizientenvergleich:
>  sin(x): -3A+B=0 (1)
>  cos(x):-A-3B=1  (2)
>  
> =>10B=-3=> B=-0,3
>  
> Einsetzen ins die (1)
>  
> Ergibt für A=-0,1
>  
> [mm]yp^{1}=-0,1sin(x)-0,3cos(x)[/mm]
>  
>
> Jetzt für 3*sin(x):
>  Ableitungen für yp sind gleich. Einsetzen ergibt:
>  
> sin(x)*(-3A+B)+cos(x)*(-A-3B)= 3sin(x)
>  
> Nun wieder Koeffizientenvergleicht:
>  Ergibt für B=0,3 und für A: -1,1
>  
> so ist:
>  [mm]yp^{2}=-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>  
> yallg.:
>  
> [mm]yh=C1*e^{2x}+C2*e^{-2x}-0,1sin(x)-0,3cos(x)-1,1*sin(x)+0,3*cos(x)[/mm]
>  

du hast ein störglied: cos(x)+3*sin(x), da brauchst du nur den ansatz:
A*sin(x)+B*cos(x).
am ende wirst du raus finden, dass davon ein koeffizient 0 wird. melde dich zurück wenn du soweit bist

>
>
> Könnt ihr mir sagen ob die lösung richtig ist? dann
> wollte ich noch wissen woran ich erkenn ob resonanz oder
> keine und wie ich das jetzt mit den anfangsbedingungen
> machen?
>  

die anfangsbedingungen setzt man einmal in deine gesamtlösung ein, und einmal in die ableitung der gesamtlösung. es entstehen dann 2 gleichungen mit 2 unbekannten, die es zu lösen gilt.

dein störglied ist ja von der form: a*sin(x)+b*cos(x) und ist somit nicht in der homogenen lösung enthalten, somit keine resonanz

gruß tee

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

meine lösung zu den anfangswertbedingungen sehn wie folg aus:
y-allg.: [mm] C1*e^{2x}+C2*{-1x}-1,2*sin(x) [/mm]
zu y(0)=1
= C1+C2=1  (1)


y'allg.: [mm] 2*C1*e^{2x}-1*C2*{-1x}-1,2*cos(x) [/mm]

=2*C1-C2=2,2  (2)


(2)+(1)
=3*C1=3,2
[mm] C1=\bruch{3,2}{3} [/mm] //eingesetzt in (2) ergibt für [mm] C2=-\bruch{0,2}{3} [/mm]



is das richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> meine lösung zu den anfangswertbedingungen sehn wie folg
> aus:
>  y-allg.: [mm]C1*e^{2x}+C2*{-1x}-1,2*sin(x)[/mm]
>  zu y(0)=1
>  = C1+C2=1  (1)
>  
>
> y'allg.: [mm]2*C1*e^{2x}-1*C2*{-1x}-1,2*cos(x)[/mm]
>  
> =2*C1-C2=2,2  (2)
>  
>
> (2)+(1)
>  =3*C1=3,2
>  [mm]C1=\bruch{3,2}{3}[/mm] //eingesetzt in (2) ergibt für
> [mm]C2=-\bruch{0,2}{3}[/mm]
>  
>
>
> is das richtig?

ich habe doch schon gesagt, dass es falsch ist, weil du das störglied falsch behandelt hast
edit: du hast es nicht unbedingt falsch behandelt, sondern unnötig kompliziert, und bei der bestimmung der koeffizienten vom sinus (dein 2. "fall") ist wohl was schiefgelaufen

gruß tee

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

dann sieht meinen allg. lösung so aus:
[mm] C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}-sin(x) [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> dann sieht meinen allg. lösung so aus:
>  [mm]C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}-sin(x)[/mm]  

[ok] nun kannst du mit den AWPs anfangen

gruß tee

Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

jupp. dann ist C1=1 und C2=0 somit ist meine spezielle Lösung:

[mm] 1*e^{2x}+0*e^{-1x}-sin(x) [/mm]

= [mm] 1*e^{2x}-sin(x) [/mm]

das is jetzt richtig oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> jupp. dann ist C1=1 und C2=0 somit ist meine spezielle
> Lösung:
>  
> [mm]1*e^{2x}+0*e^{-1x}-sin(x)[/mm]
>  
> = [mm]1*e^{2x}-sin(x)[/mm]
>  
> das is jetzt richtig oder?

jetzt passts!

gruß tee

Bezug
                                                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

danke danke für die hilfe. und wodran erkenn ich nun ob resonanz oder keine vorliegt. an einem beispiel wäre das sehr klasse. danke schonmal

Bezug
                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> danke danke für die hilfe. und wodran erkenn ich nun ob
> resonanz oder keine vorliegt. an einem beispiel wäre das
> sehr klasse. danke schonmal

wenn deine obige funktion statt dem störglied 3sin(x)+cos(x)
den term [mm] 4*e^{2x} [/mm] hättest; denn dafür bräuchtest du dann ja den ansatz
[mm] A*e^{2*x} [/mm]
und dann solltest du merken, dass dieser term schon in deiner homogenen lösung $ [mm] yh=C1\cdot{}e^{2x}+C2\cdot{}e^{-1x} [/mm] $ auftritt. nun musst du den ansatz mit x multiplizieren,
also dann [mm] A*x*e^{2*x}. [/mm] diesen ansatz kannst du dann nun 2 mal differentieren und in die dgl einsetzen, und einen koeffizienten-vergleich machen!
es kann durchaus auch vorkommen, dass nach dem multiplizieren mit x immer noch resonanz vorliegt. in diesem fall erneut mit x multiplizieren, bis der ansatz nicht mehr in der homogenen lösung vorkommt

gruß tee

Bezug
                                                                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Noch eine Aufgabe!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

Aufgabe
[mm] y´´-4y´+3y=e^{2x}*sin(x) [/mm] Bestimmen sie die partikuläre Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0 besitzt.

Folgendes hab ich gemacht:
[mm] k^2-4k+3 [/mm]

k1=3 ; k2=2

[mm] yh=C1*e^{3x}+C2*e^{2x} [/mm]
Lösen der Inhomogenen:
für [mm] e^{2x} [/mm]
yp= [mm] Ax*e^{2x} [/mm]    ==>> c ist einfache Lösung!
[mm] yp´=(A+2Ax)*e^{2x} [/mm]
[mm] yp´´=(4Ax+4A)*e^{2x} [/mm]

Einsetzen:
[mm] (4Ax+4A)*e^{2x}-4*(A+2Ax)*e^{2x}+3*Ax*e^{2x}=e^{2x} [/mm]
[mm] -1Ax*e^{2x}=e^{2x} [/mm]
Ax=-1

[mm] yp^{1}=-e^{2x} [/mm]

Für sin(x):

[mm] A=-\bruch{1}{8} [/mm]
[mm] B=\bruch{1}{8} [/mm]


[mm] yp^{2}=-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x) [/mm]

damit ist [mm] y^{allg.}: C1*e^{3x}+C2*e^{2x}-e^{2x}-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x) [/mm]

ist das bei der aufgabe so richtig? und wie bestimm ich die partikuläre Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0 besitzt??

Bezug
                                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Fr 05.02.2010
Autor: MathePower

Hallo haxenpeter,

> [mm]y´´-4y´+3y=e^{2x}*sin(x)[/mm] Bestimmen sie die partikuläre
> Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0 besitzt.
>  Folgendes hab ich gemacht:
>  [mm]k^2-4k+3[/mm]
>  
> k1=3 ; k2=2
>  


Der Wert für k2 stimmt nicht.


> [mm]yh=C1*e^{3x}+C2*e^{2x}[/mm]
>  Lösen der Inhomogenen:
>  für [mm]e^{2x}[/mm]
>  yp= [mm]Ax*e^{2x}[/mm]    ==>> c ist einfache Lösung!

>  [mm]yp´=(A+2Ax)*e^{2x}[/mm]
>  [mm]yp´´=(4Ax+4A)*e^{2x}[/mm]


Die Störfunktion (der Teil ohne y) lautet doch

[mm]e^{2x}*\sin\left(x\right)[/mm]

Daher lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:

[mm]y_{p}=e^{2x}*\left( \ A*\sin\left(x\right)+B*\cos\left(x\right) \ \right)[/mm]


>  
> Einsetzen:
>  [mm](4Ax+4A)*e^{2x}-4*(A+2Ax)*e^{2x}+3*Ax*e^{2x}=e^{2x}[/mm]
>  [mm]-1Ax*e^{2x}=e^{2x}[/mm]
>  Ax=-1
>  
> [mm]yp^{1}=-e^{2x}[/mm]
>  
> Für sin(x):
>  
> [mm]A=-\bruch{1}{8}[/mm]
>  [mm]B=\bruch{1}{8}[/mm]
>  
>
> [mm]yp^{2}=-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x)[/mm]
>  
> damit ist [mm]y^{allg.}: C1*e^{3x}+C2*e^{2x}-e^{2x}-\bruch{1}{8}*sin(x)+\bruch{1}{8}*cos(x)[/mm]
>  
> ist das bei der aufgabe so richtig? und wie bestimm ich die
> partikuläre Lösung welche im Punkt P(0;0) eine Steigung 0
> besitzt??


Nun, das heisst ja [mm]y\left(0)=0, \ y'\left(0\right)=0[/mm]

Aus diesen Bedingungen erhältst Du dann die fehlenden Konstanten.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

stimmt. k2=1

Ist denn die ableitung richtig oder mach ich die anders?

[mm] yp=e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x)) [/mm]
[mm] yp'=2*e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x)) [/mm]
[mm] yp´´=4e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x)) [/mm]

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Fr 05.02.2010
Autor: MathePower

Hallo haxenpeter,

> stimmt. k2=1
>  
> Ist denn die ableitung richtig oder mach ich die anders?
>  
> [mm]yp=e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))[/mm]
>  [mm]yp'=2*e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))[/mm]
>  [mm]yp´´=4e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))[/mm]  


Die Ableitung eines Produktes ist nicht das
Produkt der Ableitungen der einzelnen Faktoren.

Die Ableitung geschieht hier nach der Produktregel.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

ok aber dann bekomm ich sehr lange therme.

[mm] yp^'=2*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x)) [/mm]
[mm] yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)-B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x)) [/mm]


kann ich das dann auch zusammenfassen? und wie funktioniett das dann wenn ich es in die  gleichung einsetze?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> ok aber dann bekomm ich sehr lange therme.
>  
> [mm]yp^'=2*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))[/mm]

[ok]

>  
> [mm]yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)-B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))[/mm]
>  

die 2. ableitung sieht nicht so ganz gelungen aus

>
> kann ich das dann auch zusammenfassen? und wie funktioniett
> das dann wenn ich es in die  gleichung einsetze?

wie das immer abläuft
gleichungen in die dgl einsetzen und koeffizientenvergleich

gruß tee

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

[mm] yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x)) [/mm]

so is es aber richtig oder?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


>
> [mm]yp^''=4*e^{2x}*(A*sin(x)+B*cos(x))+2e^{2x}*(Acos(x)-B*sin(x))+2e^{2x}*(A*cos(x)-B*sin(x))+e^{2x}*(-A*sin(x)-B*cos(x))[/mm]
>  
> so is es aber richtig oder?

die mittleren beiden kann man noch zusammen addieren, da identisch

gruß tee

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

ja aber ich kann es ja auch so stehn lassen. dann setz ich in die gleichung ein. und kann das ja weiter zusammenfassen und komm dann auf:

[mm] -1*e^{2x}-2e^{2x}*(-3*A*cos(x)+3*B*sin(x))= e^{2x}*sin(x) [/mm] wie geh ich jetzt weiter vor? steh dagerade echt auf dem schlauch.


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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> ja aber ich kann es ja auch so stehn lassen. dann setz ich
> in die gleichung ein. und kann das ja weiter zusammenfassen
> und komm dann auf:
>  
> [mm]-1*e^{2x}-2e^{2x}*(-3*A*cos(x)+3*B*sin(x))= e^{2x}*sin(x)[/mm]
> wie geh ich jetzt weiter vor? steh dagerade echt auf dem
> schlauch.
>  

ich krieg nach dem zusammenfassen was anderes raus:
[mm] $$-2\,{e}^{2\,x}\,cos\left( x\right) \,B-2\,{e}^{2\,x}\,sin\left( x\right) \,A$$ [/mm]

dass soll dann gleich dem restglied sein. danach folgt ein koeffizientenvergleich für [mm] e^{2x}*sin(x) [/mm]
zwischenergebnis: A=-1/2

gruß tee

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

kannst du mir das vielleicht mal ausfühlich hinschreiben wie du darauf kommst, ich krieg das nicht hin.

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> kannst du mir das vielleicht mal ausfühlich hinschreiben
> wie du darauf kommst, ich krieg das nicht hin.

die gegebene dgl: $ [mm] y''-4y'+3y=e^{2x}\cdot{}sin(x) [/mm] $

dein ansatz vom störglied:
[mm] $$y_p={e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) [/mm] $$
[mm] $$y'_p={e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +2\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) [/mm] $$
[mm] $$y''_p=4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) +{e}^{2\,x}\,\left( -cos\left( x\right) \,B-sin\left( x\right) \,A\right) [/mm] $$
das nun in die dgl einsetzen:
[mm] y''_p-4*y'_p+3*y=e^{2x}*sin(x)= [/mm]
[mm] 4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +4\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right) +{e}^{2\,x}\,\left( -cos\left( x\right) \,B-sin\left( x\right) \,A\right) [/mm]
[mm] -4*[{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,A-sin\left( x\right) \,B\right) +2\,{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right)] [/mm]
[mm] +3*{e}^{2\,x}\,\left( cos\left( x\right) \,B+sin\left( x\right) \,A\right)=e^{2x}*sin(x) [/mm]
zusammenfassen:
[mm] -2\,{e}^{2\,x}\,cos\left( x\right) \,B-2\,{e}^{2\,x}\,sin\left( x\right) \,A=e^{2x}*sin(x) [/mm]

gruß tee

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

endweder bin ich echt zu blöd oder ich weiß auch nicht. wenn ich alles wegkürze, also zusammenrechen krieg ich raus:

[mm] -e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A+e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A) [/mm]


ich glaub ich bin zu blöde..

dazu wäre es super wenn du mir die ganze aufgabe ausrechnen könntest. brauch sie zur übung

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> endweder bin ich echt zu blöd oder ich weiß auch nicht.
> wenn ich alles wegkürze, also zusammenrechen krieg ich
> raus:
>  
> [mm]-e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A+e^{2x}*(-cos(x)B-sin(x)A)[/mm]
>  
>
> ich glaub ich bin zu blöde..
>  
> dazu wäre es super wenn du mir die ganze aufgabe
> ausrechnen könntest. brauch sie zur übung

disabled

die lösung am ende (inkl. awp) ist [mm] $$y=-\frac{{e}^{2\,x}\,sin\left( x\right) }{2}+\frac{{e}^{3\,x}}{4}-\frac{{e}^{x}}{4}$$ [/mm]

gruß tee

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 06.02.2010
Autor: haxenpeter

hi,wie kommst du denn auf die lösung? wenn [mm] A=-\bruch{1}{2} [/mm]

ist dann das B=2 ?
dann hab ich [mm] y^{allg}=C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x)) [/mm]
daraus
ergibt sich wenn ich das =0 setze C1+C2=-2

Abgeleitet ist das: [mm] 3*C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+2*e^{2x}*(-2*sin(x)-\bruch{1}{2}*cos(x)) [/mm]

daraus bekomm ich dann [mm] C1=\bruch{3}{2} [/mm]

und [mm] C2=-\bruch{7}{2} [/mm]


dann sieht mein
[mm] y^{spezial} [/mm] so aus:

[mm] \bruch{3}{2}*e^{3x}-\bruch{7}{2}*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x)) [/mm]

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Sa 06.02.2010
Autor: fencheltee


>  hi,wie kommst du denn auf die lösung? wenn
> [mm]A=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> ist dann das B=2 ?
>  dann hab ich
> [mm]y^{allg}=C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x))[/mm]
>  daraus
> ergibt sich wenn ich das =0 setze C1+C2=-2
>  
> Abgeleitet ist das:
> [mm]3*C1*e^{3x}+C2*e^{1x}+2*e^{2x}*(-2*sin(x)-\bruch{1}{2}*cos(x))[/mm]
>  
> daraus bekomm ich dann [mm]C1=\bruch{3}{2}[/mm]
>  
> und [mm]C2=-\bruch{7}{2}[/mm]
>  
>
> dann sieht mein
>  [mm]y^{spezial}[/mm] so aus:
>  
> [mm]\bruch{3}{2}*e^{3x}-\bruch{7}{2}*e^{1x}+e^{2x}*(2*cos(x)-\bruch{1}{2}*sin(x))[/mm]
>  

das b ist 0

gruß tee

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Sa 06.02.2010
Autor: haxenpeter

ist b =0 weil es sich schon wegkürzen lässt?

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Sa 06.02.2010
Autor: MathePower

Hallo haxenpeter,

> ist b =0 weil es sich schon wegkürzen lässt?


Nein.

Das b ist 0, weil der Ausdruck [mm]e^{2x}*\cos\left(x\right)[/mm]
auf der rechten Seite der DGL nicht auftaucht.


Gruss
MathePower

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Fr 05.02.2010
Autor: haxenpeter

also ich bin echt zu blöd, also wenn einer Zeit hat könnte er mit bitte das zusammenfassen ganz ausführlich zeigen, das wäre wirklich super.

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Fr 05.02.2010
Autor: fencheltee


> also ich bin echt zu blöd, also wenn einer Zeit hat
> könnte er mit bitte das zusammenfassen ganz ausführlich
> zeigen, das wäre wirklich super.

du weisst doch, dass du nur nach vorkommen von [mm] e^{2x}*sin(x) [/mm] suchst, nun gehst du von oben nach unten durch deine formeln  und schreibst auf wie oft das vorkommt
-4B+4A-A
-4(-B+2A)
+3(A)
=-2A
und das soll =1 sein

gruß tee

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Sa 06.02.2010
Autor: haxenpeter

sag mal, wenn in meiner aufgabenstellung steht:...welche im Punkt P(0;2) eine steigung von 1 hat. heißt das dann:

y^'(0)=1 und y^''(2)=1  ??

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 06.02.2010
Autor: leduart

Hallo
Nein y'' ist immer durch die Dgl gegeben!
esheisst y(0)=2 und y'(0)=1
Aber das solltest du eigentlich selbst sehen. wie kann ne aussage über die Steigung was mity'' zutun haben?
Gruss leduart

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Differentialgleichung 2.Ordnun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Mo 08.02.2010
Autor: haxenpeter

kann es sein das in der lösung doch noch ein fehler ist?
die ableitung von [mm] C1*e^{2x}+C2*e^{-1x}-1 [/mm] sin(x)

ist doch:
[mm] 2*C1*e^{2x}-C2*e^{-1x}-1 [/mm] cos(x)

oder??



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Differentialgleichung 2.Ordnun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Mo 08.02.2010
Autor: haxenpeter

hat sich schon erledigt. is das selbe ergebnis

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