Differentialgleichung Exp-fkt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DesterX |
| Aufgabe | Zeige: Eine Funktion mit den Eigenschaften
1.f(x)=f'(x) und
2.f(0)=1
kann nur die Exponentialfunktion f(x)=exp(x) sein. |
Hallo zusammen!
Ich habe leider keine Ahnung von Differentialgleichungen, wenngleich das wohl die einfachste überhaupt sein dürfte -
kann mir jemand sagen, wie man mit diesen Eigenschaften zur Lösung kommt?
Vielen Dank für jede Hilfe im Voraus
liebe Grüße
Dester
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 12:38 Fr 12.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin dester,
wenn du keine ahnung von differenzialrechnung hast, solltest du dir so schnell wie möglich ein paar grundlagen erarbeiten.
denn die exponentialfunktion ist sicher nicht die einfachste funktion, was die differenzialrechnung angeht.
allerdings in dem teilgebiet der exponential und logarithmusfunktionen magst du recht haben.
im prinzip müßtest du zeigen, dass
f(x) = f'(x)
also [mm] e^x [/mm] = [mm] e^x.
[/mm]
das müßte ich über den differenzialquotienten beweisen können. in der regel gilt, dass f(x) [mm] \not= [/mm] f'(x) ist.
wobei f'(x) die Steigung der Funktion angibt.
man geht also aus vom diffrenzenquotienten
m = [mm] \bruch{x1 - x2}{y1- y2} [/mm]
für [mm] e^x [/mm] muss gelten
m = [mm] \bruch{x1 - x2}{e^x1 - e^x2} [/mm] immer denselben wert annimmt.
dann lasse ich den unterschied zwischen x1 und x2 immer kleiner werden ("gegen null gehen" und komme dann zum differnzialquotienten.
soweit erste lösungshinweise.
gruss
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DesterX |
Vielen Dank für die schnelle Antwort...
ich nehme also mal an, [mm] c*e^x [/mm] sei eine Lösung von 1.:
ich betrachte also:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{c*exp(x)-c*exp(x_0)}{x-x_0} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} c*exp(x_o)* \bruch{exp(x-x_0)-1}{x-x_0}
[/mm]
der bruch (steigung von exp(x) in 0) geht ja für x-> [mm] x_0 [/mm] - das darf ich wohl als bekannt annehmen - gegen 1 - also ingesamt gegen [mm] c*exp(x_o)
[/mm]
ist das soweit richtig?
dann kann ich nun mit 2. zeigen, dass c=1 ist - so weit so gut:
doch, warum ist das nun meine einzige lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DesterX |
Ich habe einen Beweis für die Aufgabe oben gefunden:
Beh: einzige fkt mit den eigenschaten y'=y und y(0)=1 ist exp-fkt.
Bew:
Betrachte stetig diff'bare Fkt: f(x)=y(x)*e^(-x)
=> f'(x)=e^(-x)*(y'(x)-y(x)) = 0
=> f ist konstant mit der Konstante f(0) = 1
=> Beh.!
Also das verstehe ich irgendwie gar nicht, warum sollte die Ableitung "=0" sein? Weil man schon die Eigenschaten für y(x) annimmt?(kann aber eigentlich nicht sein) - aber was soll das dann bedeuten?
Ich hoffe einer von euch kann mehr damit anfangen...
Danke für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DesterX |
Ich hab's verstanden -
manchmal hat man aber auch ein Brett vor dem Kopf - ich hoffe doch, das liegt heute nur an der Hitze :)
Gruß
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi Dester,
vielleicht geht Punkt 2 mit einer Taylorentwicklung um x=0
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DesterX |
danke für deine antwort!
ich glaub, dass [mm] e^x [/mm] das problem löst, ist mir inzwischen klar geworden (siehe Reaktion auf hase-hh's antwort)
die eindeutigkeit ist mir noch nicht ganz klar
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