Differentialgleichung I Grades < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1.)
[mm] y'-xy=e^x², [/mm] y(0)=2
Aufgabe 2.)
[mm] y'-3xy=7e^x², [/mm] y(1)=3
Aufgabenstellung gilt für beide:
y'+f(x)y=g(x)
y(x0)=y0 |
Kann mir bitte jemand in einzelnen nachvollziebaren Schritten erklären wie ich diese gleichungen lösen soll.
vielen Dank im voraus
Ps Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo
Das ist eigentlich ganz einfach die Differentialgleichungen haben die Form
y´+f(x)y=g(x)
wobei g(x) das Störglied ist es hängt nur von x ab
jetzt löst man zunächst die homogen Diffgl.
y´+f(x)y=0 jetzt wendet man Trennung der Variablen an
y´=f(x)y
[mm] \bruch{y^{/}}{y}=f(x) [/mm] jetzt kannst du ja für y´ auch [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] schreiben
[mm] \bruch{1}{y}* \bruch{dy}{dx}=f(x) [/mm] jetzt umformen
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] dy=f(x) dx integrieren
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}= \integral_{}^{}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] ln(y)=\integral_{}^{}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] y=e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}} *e^{K} [/mm] K... Integrationskonstante
jetzt setzt man noch [mm] e^{K}=C
[/mm]
und kommt auf die homogene Lösung [mm] y_{H}=e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}}*C
[/mm]
jetzt berechnet man die Partikuläre Lösung mit Variation der Konstanten
[mm] y=e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}} [/mm] *C(x) die wird jetzt einmal differenziert bei y´´ zweimal usw.
[mm] y^{/} =...*C(x)+e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}}*C^{/}(x) [/mm] (Produktregel weil C von x abhängt )
das wird jetzt in die Angabe(jetzt mit Störglied) eingesetzt wenn man alles richtig gemacht hat fallen die Summanden mit C(x) weg und ma kann sich durch Integrieren von C´(x) das C berechnen. Jetzt bist du schon fast fertig du mußt dir noch die Anfangsbedingungen in C einsetzten
Die Lösung ist y= [mm] y_{H}+y_{Part}
[/mm]
Ich hoffeich konnte dir weiterhelfen
lg Stevo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Sa 01.07.2006 | | Autor: | MatheNoop |
Ich muss mir das gleich nochmal in Ruhe durchlesen, dann mal schauen ob ich das verstehe oder nicht ..
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