Differentialgleichung, allg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Sa 20.08.2011 | | Autor: | ljubow |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der Differentialgleichung y' = (1+x)(1+y) und das maximale Lösungsintervall. |
Guten Abend,
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Folgendes habe ich bereits:
f(x) = 1+x, x [mm] \in \IR
[/mm]
g(y) = 1+y, y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{g(t)} dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{f(t)dt}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{1+t} dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{1+t dt}
[/mm]
ln(2) - ln (1+y) = [mm] \integral_{1}^{x}{1dt} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{x}{t dt}
[/mm]
ln(2) - ln (1+y) = x-1 + [mm] (1/2x^{2}-1/2)
[/mm]
ln(2) - ln (1+y) = [mm] 1/2x^{2}+x-3/2
[/mm]
Doch hier komme ich nicht weiter mit dem rechnen...stimmt das soweit? Ich muss ja jetzt nach y auflösen...oder?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ljubow,
> Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der
> Differentialgleichung y' = (1+x)(1+y) und das maximale
> Lösungsintervall.
> Guten Abend,
> Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Folgendes habe
> ich bereits:
> f(x) = 1+x, x [mm]\in \IR[/mm]
> g(y) = 1+y, y [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{g(t)} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{x}{f(t)dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{1+t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{x}{1+t dt}[/mm]
Wie kommst du an die Intervallgrenzen?!
Es ist doch kein Anfangswert gegeben?!
Die Dgl. ist trennbar:
[mm]y'=(1+y)(1+x)[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{1}{1+y} \frac{dy}{dx} \ = \ x+1[/mm] für [mm]y\not\equiv -1[/mm]
Damit [mm]\int{\frac{1}{y+1} \ dy} \ = \ \int{(x+1) \ dx}[/mm]
Also [mm]\ln(|y+1|) \ = \ \frac{1}{2}x^2+x+c[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]
Weiter [mm]|y+1| \ = \ \e^{\frac{1}{2}x^2+x}\cdot{}e^c \ = \ \tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm] mit [mm]\tilde c\ge 0[/mm]
Also [mm]y=\hat c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}-1[/mm] mit [mm]\hat c\in\IR[/mm]
Definitionsbereich?
Und was ist mit der konstanten Funktion [mm]y\equiv-1[/mm]?
Löst die die Dgl. (wir hatten das ja bei den Umformungen rausnehmen müssen)
yn(2) - ln (1+y) =
> [mm]\integral_{1}^{x}{1dt}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{x}{t dt}[/mm]
> ln(2) -
> ln (1+y) = x-1 + [mm](1/2x^{2}-1/2)[/mm]
> ln(2) - ln (1+y) = [mm]1/2x^{2}+x-3/2[/mm]
>
> Doch hier komme ich nicht weiter mit dem rechnen...stimmt
> das soweit? Ich muss ja jetzt nach y auflösen...oder?
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Di 23.08.2011 | | Autor: | ljubow |
> Hallo ljubow,
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> > Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der
> > Differentialgleichung y' = (1+x)(1+y) und das maximale
> > Lösungsintervall.
> > Guten Abend,
> > Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Folgendes habe
> > ich bereits:
> > f(x) = 1+x, x [mm]\in \IR[/mm]
> > g(y) = 1+y, y [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{g(t)} dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{1}^{x}{f(t)dt}[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{1+t} dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{1}^{x}{1+t dt}[/mm]
>
> Wie kommst du an die Intervallgrenzen?!
>
> Es ist doch kein Anfangswert gegeben?!
>
> Die Dgl. ist trennbar:
>
> [mm]y'=(1+y)(1+x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{1+y} \frac{dy}{dx} \ = \ x+1[/mm] für
> [mm]y\not\equiv -1[/mm]
>
> Damit [mm]\int{\frac{1}{y+1} \ dy} \ = \ \int{(x+1) \ dx}[/mm]
>
> Also [mm]\ln(|y+1|) \ = \ \frac{1}{2}x^2+x+c[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]
>
> Weiter [mm]|y+1| \ = \ \e^{\frac{1}{2}x^2+x}\cdot{}e^c \ = \ \tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm]
> mit [mm]\tilde c\ge 0[/mm]
>
> Also [mm]y=\hat c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}-1[/mm] mit [mm]\hat c\in\IR[/mm]
>
> Definitionsbereich?
müsste [mm] \IR [/mm] sein, oder?
>
> Und was ist mit der konstanten Funktion [mm]y\equiv-1[/mm]?
>
> Löst die die Dgl. (wir hatten das ja bei den Umformungen
> rausnehmen müssen)
Danke für deine ausführliche Antwort. Eine kurze Rückfrage: wieso muss c >=0 sein und dann darf es wieder [mm] \in \IR [/mm] sein, diesen Schritt habe ich nicht verstanden. Danke!
>
> yn(2) - ln (1+y) =
> > [mm]\integral_{1}^{x}{1dt}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{x}{t dt}[/mm]
> >
> ln(2) -
> > ln (1+y) = x-1 + [mm](1/2x^{2}-1/2)[/mm]
> > ln(2) - ln (1+y) = [mm]1/2x^{2}+x-3/2[/mm]
> >
> > Doch hier komme ich nicht weiter mit dem rechnen...stimmt
> > das soweit? Ich muss ja jetzt nach y auflösen...oder?
> > Danke!
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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> >
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
kleiner Tipp (auch für deine anderen Artikel):
Zitiere mit mehr Bedacht und lösche unnötige Sachen weg, sonst ist es sehr unübersichtlich.
Du zitierst oft 3 Seiten Text und stells eine kleine Rückfrage ganz versteckt mittendrin ..
> > Weiter [mm]|y+1| \ = \ \e^{\frac{1}{2}x^2+x}\cdot{}e^c \ = \ \tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm]
> > mit [mm]\tilde c\ge 0[/mm]
> >
> > Also [mm]y=\hat c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}-1[/mm] mit [mm]\hat c\in\IR[/mm]
>
> >
> > Definitionsbereich?
> müsste [mm]\IR[/mm] sein, oder?
Ja!
> Danke für deine ausführliche Antwort. Eine kurze
> Rückfrage: wieso muss c >=0 sein und dann darf es wieder
> [mm]\in \IR[/mm] sein, diesen Schritt habe ich nicht verstanden.
Nun, zunächst hatten wir linkerhand [mm]|y+1|[/mm]. Das ist stets [mm]\ge 0[/mm]
Auf der rechten Seite hatten wir [mm]\tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm]
Der Exponentialterm ist [mm]>0[/mm], damit alles [mm]\ge 0[/mm] bleibt, muss [mm]\tilde c[/mm] also [mm]\ge 0[/mm] sein.
Im nächsten Schritt hatte ich den Betrag linkerhand aufgelöst.
Durch das Umdefinieren der Konstante rechterhand habe ich mögliche negative linke Seiten aufgefangen ... ([mm]\hat c\in\IR[/mm])
> Danke!
LG
schachuzipus
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