Differentialgleichung für t < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen der homogenen Differentialgleichung
[mm] y^{5}-y^{2}=0 [/mm]
die für [mm] t\to \infty [/mm] beschränkt sind. |
Also als erstes habe ich die Nullstellen gesucht, diese sind 1 und 0, wobei 0 doppelte Nullstelle ist, also folgenden Ansatz gewählt:
[mm] y=A*e^{x}+B*e^{0x}+Cxe^{0x} [/mm] = [mm] A*e^{x}+B+Cx
[/mm]
Aber wie muss ich jetzt vorgehen um die Konstanten zu bestimmen oder den Grenzwert zu berechnen?
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Hallo Marius6d,
> Bestimme alle Lösungen der homogenen
> Differentialgleichung
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> [mm]y^{5}-y^{2}=0[/mm]
>
> die für [mm]t\to \infty[/mm] beschränkt sind.
> Also als erstes habe ich die Nullstellen gesucht, diese
> sind 1 und 0, wobei 0 doppelte Nullstelle ist, also
> folgenden Ansatz gewählt:
>
> [mm]y=A*e^{x}+B*e^{0x}+Cxe^{0x}[/mm] = [mm]A*e^{x}+B+Cx[/mm]
Bei diesem Ansatz fehlen noch zwei Lösungen,
denn das charakeristische Polynom
[mm]\lambda^{5}-\lambda^{3}=\lambda^{2}*\left(\lambda^{3}-1\right)[/mm]
liefert 5 Lösungen für [mm]\lambda[/mm]
Es sind demnach die Lösungen von
[mm]\lambda^{3}-1=0[/mm]
zu berechnen.
>
> Aber wie muss ich jetzt vorgehen um die Konstanten zu
> bestimmen oder den Grenzwert zu berechnen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Marius6d |
Ah genau hat ja noch komplexe Lösungen also noch:
[mm] y=A*e^{x}+B+Cx+De^{-0.5x}*sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)+Ee^{-0.5}cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)
[/mm]
Ist das jetzt richtig so? und wie komme ich jetzt auf den Grenzwert?
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Hallo Marius6d,
> Ah genau hat ja noch komplexe Lösungen also noch:
>
> [mm]y=A*e^{x}+B+Cx+De^{-0.5x}*sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)+Ee^{-0.5}cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)[/mm]
Das muss hier so lauten:
[mm]y=A*e^{x}+B+Cx+De^{-0.5x}*sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)+Ee^{-0.5\blue{x}}cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig so? und wie komme ich jetzt auf den
Ja.
> Grenzwert?
Suche jetzt von der allgemeinen Lösungen,
diejenigen Lösungen heraus, die für [mm]t\to \infty[/mm] beschränkt sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok und wie geht das, kannst du mir das kurz erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Fr 04.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ja schau dir doch einfach das Ergebnis an. Was wird [mm] e^{x} [/mm] für x gegen unendlich?! Ist das beschränkt oder nicht?
Gruss
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