Differentialgleichung knacken < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich habe hier eine besonders fiese Diffgl, finde ich.
y''+y'+y=-(x²+x+1) Es ist ein Randwert problem mit den Nebenbedinungen
y(0)=0 und y(1)=0.
Hat einer von euch eine Ahnung was da rauskommt? Ich kann schon nicht die Homogene diffgl. lösen, weil x²+x+1=0 ja keine Nullstelle hat. Bin für jede Hilfe Dankbar! Gibt es überhaupt eine Lösung hierfür?
Gruss
Toyo
PS:
Was ich nochmal loswerden wollte, finde das mit der abrupten Domain-Abschaltung ne Sauerei!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:10 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toyo!
> Ich kann schon nicht die Homogene diffgl. lösen, weil
> [mm] $x^2+x+1=0$ [/mm] ja keine Nullstelle hat.
Diese quadratische Gleichung hat keine Lösung in [mm] $\IR$, [/mm] das stimmt.
Aber folgende beiden komplexen Lösungen (also in [mm] $\IC$) [/mm] :
[mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \red{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \blue{\bruch{\wurzel{3}}{2}}*i$
[/mm]
Damit ergibt sich folgende homogene Lösung:
[mm] $y_H [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{-\bruch{1}{2}}*x}*\left[c_1*\cos\left(\blue{\bruch{\wurzel{3}}{2}}*x\right) + c_2*\sin\left(\blue{\bruch{\wurzel{3}}{2}}*x\right)\right]$
[/mm]
Schaffst Du den Rest nun alleine?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Hi Loddar,
vielen Dank fuer Deine Hilfe, hatte das mit dem komplexen auch mal kurz in erwaegung gezogen aber wieder verworfen.
fuer die spezielle Loesung habe ich jetzt [mm] p(x)=x^2 [/mm] + x raus ist das richtig?
Hab es wie folgt berechnet:
p(x)=Ax²+Bx+C
p'(x)=2Ax+B
p''(x)=2A
dann gilt:
-p''(x)-p'(x)-p(x)=-x²-x-1
Loese ich dann nach A,B,C auf bekomme ich (1,-1,0) raus
Als ist die Loeseung: HomLoes. + x²+x
richtig?
Gruss und vielen Dank
Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
Beachte bitte zunächst, dass der homogene Lösungsraum reell-2-dimensional ist. Thorsten hat ja die allgemeine Lösung des homogenen Systems angegeben und man sieht, dass der Lösungsraum zweidimensional ist.
Bei der Bestimmung einer speziellen Lösung musst du dich mit dem Vorzeichen vertan haben. Eine richtige Lösung lautet:
[mm] $y_s(x) [/mm] = [mm] -x^2+x$.
[/mm]
So, und jetzt musst du noch die Randbedingungen beachten, um eine eindeutige Lösung des AWP zu erhalten. Wie lautet die endgültige Lösung? Mach doch mal einen Vorschlag! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:37 So 23.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Hi Stefan, mein Vorschlag, von dessen richtigkeit ich ziemlich überzeugt bin ist y(x)=-x²+x
Ich komme aber leider nicht auf die von Dir angegebene spezielle lösung.
ich rechne wie folgt:
p(x)=Ax²+Bx+C
p'(x)=2Ax+B
p''(x)=2A
dann gilt:
-p''(x)-p'(x)-p(x)=-x²-x-1
-2A-2Ax-B-Ax²-Bx-C=-x²-x-1
-Ax²-(2A+B)x-(2A+B+C)=-x²-x-1
und dann komme ich eben auf A=1 und nicht -1 wie bei Dir.
ist der Fehler im Ansatz?
Gruss Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Toyo!
> p(x)=Ax²+Bx+C
> p'(x)=2Ax+B
> p''(x)=2A
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann gilt:
> -p''(x)-p'(x)-p(x)=-x²-x-1
> -2A-2Ax-B-Ax²-Bx-C=-x²-x-1
> -Ax²-(2A+B)x-(2A+B+C)=-x²-x-1
Wie kommst Du denn auf der linken Seite auf die ganzen Minuszeichen?
Deine DGL lautet doch: [mm] $\red{+} [/mm] \ y'' \ [mm] \red{+} [/mm] \ y' \ [mm] \red{+} [/mm] \ y \ = \ [mm] -x^2-x-1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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