Differentialgleichung lösen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Fr 05.05.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Servus, diesmal nichts dringendes von mir. Ich wollte wissen, ob es für eine Differentialgleichung, die eine Schwingung beschreibt auch eine Lösungsmöglichkeit, zB Trennung der Variablen oÄ gibt. Natürlich funktioniert es einen geeigneten Ansatz zu wählen und die fehlenden Größen durch Angabe von Anfangswerten zu ergänzen.
Nehmen wir ein einfaches Pendel.
[mm]-k*x=m*\bruch{d^2x}{dt^2}, k>0[/mm]
Vielen Dank für alle Bemühungen, nirgendwo anders gestellt. Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 So 07.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo TimBuktu,
ich vermute, dass es so eine Weg nicht gibt. Das Ziel ist, eine Differenzialgleichung auf ein Integral zurückzuführen. Das Integral hätte bei der Schwingung die Lösung [mm] $a_0 sin(\omega [/mm] t)$. Unter dem Integral selbst stünde dann die Ableitung, also [mm] $\omega a_0 sin(\omega [/mm] t)$. Das heißt, dass bei zum Beispiel der Trennung der Variablen plötzlich eine trigonometrische Funktion entstehen müsste. Da sehe ich wenig Chancen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 So 07.05.2006 | | Autor: | vicious |
ich kann mich ja täuschen, aber ist die ableitung vom sinus nicht der cosinus????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 08.05.2006 | | Autor: | chrisno |
habe beim cut and paste gepennt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mo 08.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Timbuktu
Es gibt schon eine Methode DGL höherer Ordnung mit allgemeinen Mitteln der Mathe zu lösen, weil es eine vollständige Th. für n-dimensionale lin. Dgl. 1. Ordnung gibt.
Da Differenzieren ne lin. Abbildung ist, von V nach V (V Vektorraum der diffb. Fkt.) gehört das zur lin Algebra.
für dein Poblem etwa= x''=-k*x
nenne y=x' dann hast du für den Vektor X= [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
die Dgl ;
X'= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -k & 0 }*X
[/mm]
suche Eigenwerte und Eigenvektoren: [mm] e^{Eigenwert*t}*Eigenvektor [/mm] sind dann die Lösungen.
Aber ob man so was als Physiker soll? wenn man ja auch aus physikalischer Sicht auf den "Ansatz" gestoßen wird?
Ausserdem wie ist sin, cos für dich definiert? f''=-f, f(0)=1,f'(0)=0 ist EINE gängige Def. von sin! ebenso wie f'=f die exp. fkt. definiert.
Viele der expliziten Methoden, wie bei f'=f verschleiern doch nur wo die Schwierigkeit liegt, nämlich exp bzw ln zu berechnen. Eine gute Methode dafür ist die numerische Lösung von f'=f, f(0)=1.
exp oder ln zu benutzen heisst doch nur, dass jemand anders (der Programmierer) die Dgl. numerisch gelöst hat!
Gruss leduart
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