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| Aufgabe | | Bestimme die allgemeine Lösung von y' + y sin x = [mm] sin^{3} [/mm] x. |
So - ich habe doch eine inhomogene lineare Gleichung vor mir, richtig?
Das bedeutet: die allgemeine Lösung besteht aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen linearen homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung.
Meine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet: [mm] e^{cos x -1} [/mm]
Stimmt die schon mal soweit? Ich habe Probleme das Integral über [mm] e^{-cos u +1} [/mm] * [mm] sin^{3} [/mm] u du zu lösen, denn das müsste ja plus eine Konstante c mit den Grenzen Null und x meine spezielle Lösung sein ,oder?
Also erstmal: Ist das bis hierhin richtig oder liege ich völlig falsch?
Lieben Gruß und danke
JUlia
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Hallo Julia,
wie kommst du denn auf die -1 im Exponenten bei der homogenen Lösung?
Die DGL ist doch [mm] $y'=-y\sin(x)+\sin^3(x)$
[/mm]
Also homog. Problem: [mm] $y'=-y\sin(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int{\frac{1}{y} \ dy}=\int{-\sin(x) \ dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln|y|=\cos(x)+c_0 \qquad [/mm] , [mm] c_0\in\IR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=c\cdot{}e^{\cos(x)} \qquad [/mm] , [mm] c\in\IR$
[/mm]
Dann Variartion der Konstanten:
[mm] $y(x)=c(x)\cdot{}e^{\cos(x)}\Rightarrow y'(x)=c'(x)\cdot{}e^{\cos(x)}-c(x)\cdot{}\sin(x)\cdot{}e^{\cos(x)}=-c(x)\cdot{}e^{\cos(x)}\cdot{}\sin(x)+\sin^3(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow c'(x)=\sin^3(x)\cdot{}e^{-\cos(x)}$
[/mm]
Also [mm] $c(x)=\int{\sin^3(x)\cdot{}e^{-\cos(x)} \ dx}$
[/mm]
Dem Integral kannst du mit der Substitution [mm] $u:=-\cos(x)$ [/mm] und - wenn ich das richtig sehe - anschließender 2facher partieller Integration beikommen
LG
schachuzipus
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Hallo!
Die Grenzen des Integrals sind doch immer von [mm] x_{0} [/mm] zu x zu ziehen, oder? Zumindest haben wir das bis jetzt immer so gemacht. Und so wie ich das verstanden hab ,ist [mm] x_{0} [/mm] gleich null? So komme ich dann auch auf das -1 im Exponenten, denn ich habe ja auch y' = -y sinx als homogene Gleichung.
exp ( [mm] \integral_{0}^{x}{-sin t dt} [/mm] ) wäre dann die lösung der homogenen Gleichung. Das ist dann bei mir [mm] e^{cos x -1}.
[/mm]
Bei der inhomogenen Gleichung dann: [mm] \integral_{0}^{x}{e^{-cos x +1} * sin^{3} u du}
[/mm]
Also dann mit Substitution und partieller Integration. Ich versuchs mal. Und ist das jetzt falsch mit den Grenzen?
Vielen Dank schonmal, lieben Gruß
Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Hallo!
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> Die Grenzen des Integrals sind doch immer von [mm]x_{0}[/mm] zu x
> zu ziehen, oder?
Wenn du eine Anfangsbedingung [mm]y(x_0)=y_0[/mm] hast, dann schreibst du das Integral über dy von [mm]y_0[/mm] bis y und das Integral über dx von [mm]x_0[/mm] bis x.
> Zumindest haben wir das bis jetzt immer so
> gemacht. Und so wie ich das verstanden hab ,ist [mm]x_{0}[/mm]
> gleich null?
In der Aufgabe ist nach der allgemeinen Lösung gefragt. Das heisst, du muss dein [mm]x_0[/mm] stehen lassen und darfst nicht einen Wert einsetzen (du hast ja keinen Wert für [mm]x_0[/mm] gegeben).
> So komme ich dann auch auf das -1 im
> Exponenten, denn ich habe ja auch y' = -y sinx als homogene
> Gleichung.
> exp ( [mm]\integral_{0}^{x}{-sin t dt}[/mm] ) wäre dann die lösung
> der homogenen Gleichung. Das ist dann bei mir [mm]e^{cos x -1}.[/mm]
Wenn du das [mm]x_0[/mm] stehen lässt, bekommst du [mm]\mathrm{e}^{\cos x-\cos x_0}[/mm]. Das kannst du umschreiben:
[mm]y = \mathrm{e}^{\cos x-\cos x_0} = \mathrm{e}^{\cos x} * \underbrace{\mathrm{e}^{-\cos x_0}}_{c} = c* \mathrm{e}^{\cos x} [/mm]
Das ist die allgemeine Lösung, wie sie schachuzipus angegeben hat: wo du die Konstante hinschreibst, ist egal, solange sie nur vorkommt. Seine Lösung ist einfacher.
> Bei der inhomogenen Gleichung dann:
> [mm]\integral_{0}^{x}{e^{-cos x +1} * sin^{3} u du}[/mm]
Auch hier hast du im Prinzip das Gleiche heraus, denn
[mm]\integral_{0}^{x}{e^{-cos x +1} * sin^{3} u du} = \integral_{0}^{x}{e^{-cos x} * e * sin^{3} u du}[/mm]
Dein Integral unterscheidet sich von seinem nur durch den konstanten Faktor e, der sich dann wieder gegen das [mm]\mathrm{e}^{-1}[/mm] in deiner Lösung weghebt.
> Also dann mit Substitution und partieller Integration. Ich
> versuchs mal. Und ist das jetzt falsch mit den Grenzen?
Die Grenzen sind egal: andere Grenzen bedeuten, dass du eine andere spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung bekommst (nämlich durch Addition irgendeiner Lösung der homogenen DGL).
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Fr 25.01.2008 | | Autor: | BieneJulia |
Hey :)
Okay, vielen Dank, hab das dann mit der Substitution auch hinbekommen (nach einigen Vorzeichenfehlern .. ) :)
Lg
Julia
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