Differentialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man löse die DGl [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)y' [/mm] = xy |
Hallo,
mal wieder eine Frage. wie kann ich die DGL separieren, so dass ich sie lösen kann.
Vielen Dank im voraus!
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Hallo,
[mm] $(x^2+y^2)*y'=xy$
[/mm]
[mm] $\bruch{x^2+y^2}{x*y}*y'=1$
[/mm]
[mm] $\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}=\bruch{1}{y'}$
[/mm]
[mm] $y'=\bruch{1}{\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}}$
[/mm]
Substitution: [mm] $\bruch{y}{x}=u$
[/mm]
$y'=u'*x+u$
[mm] $u'*x+u=\bruch{1}{\bruch{1}{u}+u}=\bruch{u}{u^2+1}$
[/mm]
[mm] $u'*x=\bruch{u}{u^2+1}-u$
[/mm]
[mm] $u'*x=\bruch{u}{u^2+1}-\bruch{u^3+u}{u^2+1}$
[/mm]
[mm] $u'*x=\bruch{-u^3}{u^2+1}$
[/mm]
[mm] $-\integral \bruch{u^2+1}{u^3}\;du=\integral \bruch{1}{x}\;dx$
[/mm]
Falls ich mich nicht verrechnet habe lässt sich u leider nicht explizit darstellen, y auch nicht.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 08.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Martinius,
kann man hier nicht einfach x=cos(t) und y=sin(t) setzen?
Grüße Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Di 08.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo smarty,
das würde ja bedeuten $t = [mm] \bruch{\pi}{2}+n*2\pi$
[/mm]
, also x=0 und y=1.
Dieses Zahlenpaar würde die DGL lösen; aber es ist ja nicht die allgemeine Lösung.
Da ich aber nur Mathematik-Laie bin lasse ich die Frage einmal offen stehen.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 08.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Martinius,
> Hallo smarty,
>
> das würde ja bedeuten [mm]t = \bruch{\pi}{2}+n*2\pi[/mm]
>
> , also x=0 und y=1.
>
> Dieses Zahlenpaar würde die DGL lösen; aber es ist ja nicht
> die allgemeine Lösung.
>
> Da ich aber nur Mathematik-Laie bin lasse ich die Frage
> einmal offen stehen.
ok, und trotzdem natürlich vielen Dank 
Gruß
Smarty
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> kann man hier nicht einfach x=cos(t) und y=sin(t) setzen?
hallo Smarty,
in sehr vielen Situationen, wo [mm] x^2+y^2 [/mm] auftritt, ist diese Substitution
eine sehr gute Idee.
Hier aber nicht, denn beschränkt auf den Einheitskreis macht
die Differentialgleichung gar keinen Sinn mehr.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Di 08.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Al-Chwarizmi,
ok, vielen Dank für die Begründung. Ich hatte mir sowas gedacht, deshalb auch nicht schon vorher auf die Ausgangsfrage reagiert. Allerdings, wenn ich die DGL durch [mm] (x^2+y^2) [/mm] teile, dann ist es doch wurscht, ob ich mich mit [mm] x^2+y^2 [/mm] auf den Einheitskreis beschränke? Man erreicht doch dann alle reellen Zahlen.
Grüße
Smarty
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>> kann man hier nicht einfach x=cos(t) und y=sin(t) setzen?
> Allerdings, wenn ich die DGL durch
> [mm](x^2+y^2)[/mm] teile, dann ist es doch wurscht, ob ich mich mit
> [mm]x^2+y^2[/mm] auf den Einheitskreis beschränke? Man erreicht doch
> dann alle reellen Zahlen.
um die ganze x-y-Ebene abzudecken, müsste man substituieren:
x=r*cos(t) und y=r*sin(t)
dies vereinfacht aber die vorliegende DGL wohl kaum
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 09.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Al-Chwarizmi,
heute morgen wurde mir das auch bewusst, dass ich mit meinem Vorschlag nicht die ganze xy-Ebene abdecke, weil ja das r fehlte - damit decken sich dann wenigstens unsere Vorstellungen
Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Di 08.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo,
>
> [mm](x^2+y^2)*y'=xy[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^2+y^2}{x*y}*y'=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}=\bruch{1}{y'}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{1}{\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}}[/mm]
>
> Substitution: [mm]\bruch{y}{x}=u[/mm]
>
> [mm]y'=u'*x+u[/mm]
>
> [mm]u'*x+u=\bruch{1}{\bruch{1}{u}+u}=\bruch{u}{u^2+1}[/mm]
>
> [mm]u'*x=\bruch{u}{u^2+1}-u[/mm]
>
> [mm]u'*x=\bruch{u}{u^2+1}-\bruch{u^3+u}{u^2+1}[/mm]
>
> [mm]u'*x=\bruch{-u^3}{u^2+1}[/mm]
>
> [mm]-\integral \bruch{u^2+1}{u^3}\;du=\integral \bruch{1}{x}\;dx[/mm]
>
>
> Falls ich mich nicht verrechnet habe lässt sich u leider
> nicht explizit darstellen, y auch nicht.
>
>
> LG, Martinius
[mm] \integral_{}^{}{\frac{t^2+1}{t^3} dt}=ln(t)-\frac{1}{2t^2}+C
[/mm]
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hallo Martinius und Matthias,
> Falls ich mich nicht verrechnet habe lässt sich u leider
> nicht explizit darstellen, y auch nicht.
... aber zumindest eignet sich u hervorragend als Parameter
für eine Parameterdarstellung der Lösungskurven !
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Di 08.07.2008 | | Autor: | matthias79 |
habt mir sehr viel weitergeholfen, habs nun kapiert.
Vielen Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Di 08.07.2008 | | Autor: | weduwe |
wenn ich mich nicht irre, wäre
[mm] f(y)=\frac{1}{y^3} [/mm] ein integrierender faktor
und damit
[mm] \frac{x^2+y^2}{y^3}dy-\frac{x}{y^2}dx [/mm] eine exakte differentialgleichung
mit der lösung
[mm]lny-\frac{x^2}{2y^2}=C[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 08.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo weduwede,
> wenn ich mich nicht irre, wäre
> [mm]f(y)=\frac{1}{y^3}[/mm] ein integrierender faktor
>
> und damit
> [mm]\frac{x^2+y^2}{y^3}dy-\frac{x}{y^2}dx[/mm] eine exakte
> differentialgleichung
>
> mit der lösung
>
> [mm]lny-\frac{x^2}{2y^2}=C[/mm]
Ich meine, es stimmt wegen eines Vorzeichens nicht.
Es müsste ja gelten:
[mm] $\integral \frac{x^2+y^2}{y^3}\;dy [/mm] = [mm] \integral \frac{x}{y^2}\;dx$
[/mm]
[mm] $-\frac{x^2}{2y^2}+ln|y|+f(x)+C_1=\frac{x^2}{2y^2}+f(y)+C_2$
[/mm]
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Di 08.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwede,
>
> > wenn ich mich nicht irre, wäre
> > [mm]f(y)=\frac{1}{y^3}[/mm] ein integrierender faktor
> >
> > und damit
> > [mm]\frac{x^2+y^2}{y^3}dy-\frac{x}{y^2}dx[/mm] eine exakte
> > differentialgleichung
> >
> > mit der lösung
> >
> > [mm]lny-\frac{x^2}{2y^2}=C[/mm]
>
>
> Ich meine, es stimmt wegen eines Vorzeichens nicht.
>
> Es müsste ja gelten:
>
> [mm]\integral \frac{x^2+y^2}{y^3}\;dy = \integral \frac{x}{y^2}\;dx[/mm]
>
> [mm]-\frac{x^2}{2y^2}+ln|y|+f(x)+C_1=\frac{x^2}{2y^2}+f(y)+C_2[/mm]
>
>
> LG, Martinius
hallo martinius, aber:
[mm]lny-\frac{x^2}{2y^2}=C[/mm]
abgeleitet führt auf
[mm] \frac{y^\prime}{y}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2xy^2-2x^2yy^\prime}{y^4}=0\to (x^2+y^2)\cdot y^\prime [/mm] = xy
oder irre ich mich?
ist denn deine art der integration korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 08.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo weduwede,
jetzt wo Du mich fragst werde ich auch unsicher.
Es kommt wohl darauf an, ob man x und y beim Differenzieren und Integrieren als unabhängige Variablen ansieht, oder y als y(x).
Im 2. Fall wäre doch nach deiner Lösung
[mm] $F(x,y)=ln|y|-\bruch{x^2}{2y^2}+C$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{y'}{y}-\bruch{xy^2-x^2yy'}{y^4}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{y'}{y}+\bruch{xy'}{y^3}$
[/mm]
Bei diesem Ableiten müssten ja die beiden Seiten der ursprünglichen DGL heraus kommen, was ja nicht der Fall ist.
Nimmt man nun an, das die beiden Variablen unabhängig wären, so kommt man auf:
[mm] $\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=-\bruch{x}{y^2}=-\bruch{xy}{y^3}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{1}{y}+\bruch{x^2}{y^3}=\bruch{x^2+y^2}{y^3}$
[/mm]
was ja zum erwähnten Vorzeichenfehler führt, da die DGL, multipliziert mit dem integrierenden Faktor
[mm] $\bruch{x^2+y^2}{y^3}\;dy=\bruch{xy}{y^3}\;dx$
[/mm]
sein soll.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Di 08.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwede,
>
> jetzt wo Du mich fragst werde ich auch unsicher.
>
> Es kommt wohl darauf an, ob man x und y beim Differenzieren
> und Integrieren als unabhängige Variablen ansieht, oder y
> als y(x).
>
> Im 2. Fall wäre doch nach deiner Lösung
>
> [mm]F(x,y)=ln|y|-\bruch{x^2}{2y^2}+C[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{y'}{y}-\bruch{xy^2-x^2yy'}{y^4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{y'}{y}+\bruch{xy'}{y^3}[/mm]
>
so kann das aber nicht stimmen
> Bei diesem Ableiten müssten ja die beiden Seiten der
> ursprünglichen DGL heraus kommen, was ja nicht der Fall
> ist.
>
> Nimmt man nun an, das die beiden Variablen unabhängig
> wären, so kommt man auf:
>
> [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=-\bruch{x}{y^2}=-\bruch{xy}{y^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{1}{y}+\bruch{x^2}{y^3}=\bruch{x^2+y^2}{y^3}[/mm]
>
> was ja zum erwähnten Vorzeichenfehler führt, da die DGL,
> multipliziert mit dem integrierenden Faktor
>
> [mm]\bruch{x^2+y^2}{y^3}\;dy=\bruch{xy}{y^3}\;dx[/mm]
>
> sein soll.
>
>
> LG, Martinius
>
>
ich bleib halt pragmatisch:
durch differenzieren der angegebenen lösung erhalte ich die angegebene diffgleichung, also sollte sie stimmen,
und deine argumentation irgendein loch haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 08.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo weduwede,
> > [mm]F(x,y)=ln|y|-\bruch{x^2}{2y^2}+C[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{y'}{y}-\bruch{xy^2-x^2yy'}{y^4}[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{y'}{y}+\bruch{xy'}{y^3}[/mm]
>
> >
>
> so kann das aber nicht stimmen
>
Au weh, bei der partiellen Ableitung nach y habe ich Unsinn geschrieben.
[mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{1}{y}+\bruch{x^2}{y^3}=\bruch{x^2+y^2}{y^3}[/mm]
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Di 08.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwede,
>
>
> > > [mm]F(x,y)=ln|y|-\bruch{x^2}{2y^2}+C[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{y'}{y}-\bruch{xy^2-x^2yy'}{y^4}[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{y'}{y}+\bruch{xy'}{y^3}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > so kann das aber nicht stimmen
> >
>
> Au weh, bei der partiellen Ableitung nach y habe ich Unsinn
> geschrieben.
>
> [mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}=\bruch{1}{y}+\bruch{x^2}{y^3}=\bruch{x^2+y^2}{y^3}[/mm]
>
>
> LG, Martinius
>
[mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=\bruch{y'}{y}-\bruch{xy^2-x^2yy'}{y^4}[/mm]
und da auch:
[mm]\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}=-\bruch{x}{y^2}[/mm]
oder?
womit dann alles wieder in der reihe wäre.
al Chwarizmi, danke für die bestätigung.
ich habe es allerdings (meinem alter entsprechend) noch zu fuß gerechnet.
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> wenn ich mich nicht irre, wäre
> [mm]f(y)=\frac{1}{y^3}[/mm] ein integrierender faktor
>
> und damit
> [mm]\frac{x^2+y^2}{y^3}dy-\frac{x}{y^2}dx[/mm] eine exakte
> differentialgleichung
>
> mit der lösung
>
> [mm]lny-\frac{x^2}{2y^2}=C[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (laut CAS)
hallo weduwe,
dieses Ergebnis ist haargenau das, was mir mein voyage 200
auf Konsultation hin auch geliefert hat und was ich durch
eigene Rechnung verifizieren konnte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 08.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ihr habt Recht; der Vorzeichenfehler lag bei mir.
LG, Martinius
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