Differentialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y'(x)=xy(x)+3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}
[/mm]
Löse das Anfangswertproblem [mm] y(0)=\pi [/mm] |
´Wenn ich mich nicht täusche muss ich diese DGL mit variablentrennung lösen. Aber wie fange ich hierbei an? Das irritiert mich hier bei der DGL etwas!
Mathegirl
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Hallo,
[mm]y'=x*y[/mm]
ist der homogene Teil, der Rest ist die Störfunktion. Die Vorgehensweise ist daher exakt die gleiche, wie bei deiner anderen Frage hier.
Gruß, Diophant
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aber muss ich wegen xy nicht mit Trennung der Variablen lösen? das x muss ja irgendwie "weg".
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> aber muss ich wegen xy nicht mit Trennung der Variablen
> lösen? das x muss ja irgendwie "weg".
>
>
> MfG
> Mathegirl
$ [mm] y'(x)=xy(x)+3x^3\cdot{}e^{\bruch{-x^2}{2}} [/mm] $
ist eine popelige inhomogene lineare DGL 1. Ordnung.
Bestimme (wie immer) die allgemeine Lösung der zugeh. homogenen Gl. und dann eine spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
Etc .................
FRED
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[mm] y_0=K*e^x
[/mm]
[mm] y=K(x)*e^x
[/mm]
[mm] y'=K'(x)*e^x+K(x)*e^x
[/mm]
[mm] y'-y=K'(x)*e^x+K(x)*e^x-K(x)*e^x= 3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}
[/mm]
[mm] y'-y=K'(x)*e^x=3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}
[/mm]
[mm] K'(x)=3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}*e^x
[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{K'(x) dx}= \integral_{}^{}{K'(x) dx}= 3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}*e^{-x}dx
[/mm]
Aber ich kriege es nicht hin davon eine Stammfunktion zu bilden....
Könnt ihr mir dabei vielleicht helfen?
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]y_0=K*e^x[/mm]
???
Wie kommst du darauf? Rate mal mit Rosenthal?
Völliger Humbuk!!
Wenn du das ableitest, ergibt sich [mm]y'=Ke^x[/mm]
Ist das [mm]=xy=xKe^x[/mm] ??
Offensichtlich nicht!
Du hast also nix gerechnet, nur geraten.
Und wenn du doch gerechnet hast, wieso zeigst du uns deine Rechnung nicht?
Wie willst du was lernen? Durch Abschreiben?
Dann bitte, du musst es wissen ...
Homogene Dgl.: [mm]y'=xy[/mm] und [mm]y'=\frac{dy}{dx}[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ x \ dx[/mm]
Beidseitig integrieren liefert: [mm]\ln(|y|) \ = \ \frac{1}{2}x^2+C[/mm]
[mm]\Rightarrow y=K\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2}[/mm]
Nun rechne ab hier mal weiter mit Variation der Konstanten
> [mm]y=K(x)*e^x[/mm]
> [mm]y'=K'(x)*e^x+K(x)*e^x[/mm]
>
> [mm]y'-y=K'(x)*e^x+K(x)*e^x-K(x)*e^x= 3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm]
>
> [mm]y'-y=K'(x)*e^x=3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm]
>
> [mm]K'(x)=3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}*e^x[/mm]
>
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{K'(x) dx}= \integral_{}^{}{K'(x) dx}= 3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}*e^{-x}dx[/mm]
>
> Aber ich kriege es nicht hin davon eine Stammfunktion zu
> bilden....
> Könnt ihr mir dabei vielleicht helfen?
>
> mathegirl
Gruß
schachuzipus
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[mm] y=K(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
[mm] y'=K'(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}+x*K(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
[mm] y'-xy=K'(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}+x*K(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}-x*K*e^{\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
[mm] y'-xy=K'(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}= 3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}
[/mm]
[mm] K'(x)=\bruch{3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}}{e^{\bruch{1}{2}x^2}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}}{e^{\bruch{1}{2}x^2}} dx}= -\bruch{3}{2}*e^{-x^2}*(x^2+1)*C
[/mm]
y= [mm] (-\bruch{3}{2}*e^{-x^2}*(x^2+1)*C)*e^{\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
stimmt das soweit?
Mathegirl
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Hallo nochmal,
>
> [mm]y=K(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
> [mm]y'=K'(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}+x*K(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]y'-xy=K'(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}+x*K(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}-x*K*e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
>
> [mm]y'-xy=K'(x)*e^{\bruch{1}{2}x^2}= 3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}[/mm]
>
> [mm]K'(x)=\bruch{3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}}{e^{\bruch{1}{2}x^2}}[/mm]
Ja, das vereinfacht sich aber gem. Potenzgesetzen zu [mm] $K'(x)=3x^3\cdot{}e^{-x^2}$
[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3x^3*e^{\bruch{-x^2}{2}}}{e^{\bruch{1}{2}x^2}} dx}= -\bruch{3}{2}*e^{-x^2}*(x^2+1)*C[/mm]
Fast, es ist $+C$, aber da du nur an einer einzigen speziellen Lösung interessiert bist, kannst du einfach $C=0$ nehmen und hast:
[mm] $K(x)=-\frac{3}{2}e^{-x^2}(x^2+1)$
[/mm]
Also [mm] $y_{\text{part}}=K(x)e^{\frac{1}{2}x^2}=-\frac{3}{2}e^{-\frac{1}{2}x^2}(x^2+1)$
[/mm]
>
> y= [mm](-\bruch{3}{2}*e^{-x^2}*(x^2+1)*C)*e^{\bruch{x^2}{2}}[/mm]
Es ist [mm] $y=y_{\text{hom}}+y_{\text{part}}=Ke^{\frac{1}{2}x^2}-\frac{3}{2}e^{-x^2}(x^2+1)e^{\frac{1}{2}x^2}=...$
[/mm]
Nun bestimme das K durch Einsetzen der Anfangsbedingung ...
>
>
> stimmt das soweit?
Fast!
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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muss ich das so schreiben?
ich kannte bisher nur die allgemeine Lösung, aber so wie du das jetzt geschrieben hast ist es mir noch nicht bekannt
> [mm]y=y_{\text{hom}}+y_{\text{part}}=Ke^{\frac{1}{2}x^2}-\frac{3}{2}e^{-x^2}(x^2+1)e^{\frac{1}{2}x^2}=...[/mm]
Ich kannte es bisher immer nur mit Berechnen der allg. Lösung und durch das Anfangswertproblem das C berechnen. Aber ich werde es so mal probieren. Vielen Dank für die Hilfe und die Geduld!!!
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> muss ich das so schreiben?
> ich kannte bisher nur die allgemeine Lösung, aber so wie
> du das jetzt geschrieben hast ist es mir noch nicht
> bekannt
>
> >
> [mm]y=y_{\text{hom}}+y_{\text{part}}=Ke^{\frac{1}{2}x^2}-\frac{3}{2}e^{-x^2}(x^2+1)e^{\frac{1}{2}x^2}=...[/mm]
>
Das kannst Du jetzt noch etwas zusammenfassen:
[mm]y=y_{\text{hom}}+y_{\text{part}}=Ke^{\frac{1}{2}x^2}-\frac{3}{2}e^{-x^2}(x^2+1)e^{\frac{1}{2}x^2}=Ke^{\frac{1}{2}x^2}-\frac{3}{2}(x^2+1)e^{-\frac{1}{2}x^2}.[/mm]
> Ich kannte es bisher immer nur mit Berechnen der allg.
> Lösung und durch das Anfangswertproblem das C berechnen.
> Aber ich werde es so mal probieren. Vielen Dank für die
> Hilfe und die Geduld!!!
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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