Differentialgleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 24.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Reduziere folgende Gleichungen auf ein System erster Ordnung:
a) x'' + x = 1
b) y'' + y' + y = 0
c) x'' + tx + 1 = 0 |
Ich weiss nicht genau, wie hier vorzugehen ist.
Die Diffgleichung b) kann ich ohne weiteres lösen, mit folgendem Ansatz:
[mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0
Doch ich denke hier ist was anders gefragt...! Wie muss ich denn bei diesen Aufgaben genau vorgehen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 24.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau mal Hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung
Übrigends: das zu b) geh. char. Polynom hasr Du falsch !
Richtig ist:$ [mm] p(\lambda) [/mm] $ = $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda [/mm] $ +1 = 0
fred
|
|
|
| |
|
> Schau mal Hier:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung
also da habe ich einfach folgendes gefunden:
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] y_{3}
[/mm]
etc.
[mm] y_{n} [/mm] = [mm] f(x,y_{1}, [/mm] ... , [mm] y_{n})
[/mm]
Aber wie muss ich denn da konkret vorgehen?
>
> Übrigends: das zu b) geh. char. Polynom hasr Du falsch !
> Richtig ist:[mm] p(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] +1 = 0
>
genau, da habe ich mich vertippt.
Auf diese Weise bin ich dann auf { [mm] e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] * [mm] cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}*x) [/mm] , [mm] e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] * [mm] sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}*x) [/mm] } gekommen.
Wäre aber auch diese Lösung korrekt:
{ [mm] e^{-\bruch{1}{2} + \bruch{\wurzel{3}}{2}*i} [/mm] , [mm] e^{-\bruch{1}{2} - \bruch{\wurzel{3}}{2}*i} [/mm] } ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 26.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 15.08.2008 | | Autor: | jokerose |
> Reduziere folgende Gleichungen auf ein System erster
> Ordnung:
>
> a) x'' + x = 1
> b) y'' + y' + y = 0
> c) x'' + tx + 1 = 0
>
für c) habe ich dann folgendes System erster Ordnung erhalten:
[mm] x_0 [/mm] = x
[mm] x_0' [/mm] = [mm] x_1
[/mm]
[mm] x_1' [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = x'' = -1 - tx
[mm] \vektor{x_0 \\ x_1}' [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -t & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x_0 \\ x_1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
Da bin ich mir aber nicht ganz sicher, ob dies korrekt ist? Ist "t" einfach ein Parameter oder sollte dies eine Variable darstellen?
Des weiteren muss ich folgendes Gleichungssystem auf ein System erster Ordnung reduzieren:
x'' = x'y + y'x + cos(x)
y'' = [mm] x'y^2 [/mm] + [mm] y'x^2
[/mm]
Auf folgende Lösung bin ich gekommen:
[mm] x_0 [/mm] = x
[mm] x_0' [/mm] = [mm] x_1
[/mm]
[mm] x_1' [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = x'y + y'x + cos(x) = [mm] x_1y_0 [/mm] + [mm] y_1x_0 [/mm] + [mm] cos(x_0)
[/mm]
[mm] y_0 [/mm] = y
[mm] y_0' [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] y_1' [/mm] = [mm] x'y^2 [/mm] + [mm] y'x^2 [/mm] = [mm] x_1y_0^2 [/mm] + [mm] y_1x_0^2
[/mm]
[mm] \vektor{x_0 \\ x_1}' [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ y_1 & y_0 } [/mm] * [mm] \vektor{x_0 \\ x_1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ cos(x_0)}
[/mm]
[mm] \vektor{y_0 \\ y_1}' [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ x_1y_0 & x_0^2 } [/mm] * [mm] \vektor{y_0 \\ y_1}
[/mm]
Hier bin ich mir aber nicht sicher, wie ich das lösen soll, da Potenzen in der Gleichung vorkommen...? Oder ist mein System korrekt?
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | > Reduziere folgende Gleichungen auf ein System erster
> Ordnung:
>
> a) x'' + x = 1
> b) y'' + y' + y = 0
> c) x'' + tx + 1 = 0
> Ich weiss nicht genau, wie hier vorzugehen ist.
> Die Diffgleichung b) kann ich ohne weiteres lösen, mit
> folgendem Ansatz:
>
> [mm]p(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> Doch ich denke hier ist was anders gefragt...! Wie muss ich
> denn bei diesen Aufgaben genau vorgehen? |
Die allererste Frage müßte eigentlich sein:
"Was bedeuten die Ableitungsstrichlein ?"
Es werden hier offenbar differenzierbare Funktionen
x(?) und y(?) einer gewissen Variablen (?) gesucht,
welche aber leider nicht klar deklariert wird.
x oder y selbst kommen dafür kaum in Frage.
Möglicherweise ist es das t, welches in der dritten
Gleichung noch vorkommt. Es könnte aber auch
so sein, dass x=x(u), y=y(u) mit einer Haupt-
variablen u (das t als Konstante betrachtet).
Also: Wie heisst die Hauptvariable ?
|
|
|
| |
|
> Reduziere folgende Gleichungen auf ein System erster
> Ordnung:
>
> a) x'' + x = 1
> b) y'' + y' + y = 0
> c) x'' + tx + 1 = 0
> Doch ich denke hier ist was anders gefragt...! Wie muss ich
> denn bei diesen Aufgaben genau vorgehen?
Beim ersten Blick habe ich die drei Gleichungen a,b und c als
ein System von DGL 2. Ordnung angeschaut, das auf ein
System von DGL 1. Ordnung reduziert werden soll.
Dann würde aber die Gleichung (b) irgendwie allein in der
Gegend hängen, weil nichts sie mit den anderen Gleichungen
verbindet. Aha: a,b und c sind drei voneinander unabhängige
Teilaufgaben.
Etwas klarer sollte die Aufgabe also etwa so formuliert werden:
| Aufgabe | Reduziere jede der folgenden Gleichungen jeweils auf ein
System erster Ordnung:
a) x''(t) + x(t) = 1
b) y''(t) + y'(t) + y(t) = 0
c) x''(t) + t*x(t) + 1 = 0 |
Nehmen wir nun zum Beispiel die Gleichung c :
Um daraus ein System erster Ordnung zu machen, führt
man neben der eigentlich gesuchten Funktion [m]\ x(t)[/m] (ich
nehme jetzt an, dass [m]\ t[/m] tatsächlich die Hauptvariable sei !)
eine weitere Funktion [m]\ y(t)[/m] ein, nämlich [m]\ y(t)=x'(t)[/m].
Dann hat man
[m]\ x''(t)=\bruch{d}{dt}x'(t)=\bruch{d}{dt}y(t)=y'(t)[/m]
und kann nun die ursprüngliche DGL ersetzen durch das
System:
[m]\ x'(t)=y(t)\ \wedge\ y'(t)=-t*x(t)-1[/m]
oder, zu einem Vektor zusammengefasst:
[m]\ \bruch{d}{dt}\vektor{x'(t)\\y'(t)}=\vektor{y(t)\\-t*x(t)-1}[/m]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 17.08.2008 | | Autor: | jokerose |
> (ich nehme jetzt an, dass [m]\ t[/m] tatsächlich die Hauptvariable sei
> !)
Die Aufgabenstellung ist leider wirklich sehr unklar. Ich vermute selber auch, dass t die Hauptvariable ist.
Meine Lösung zu Aufgabe c) wäre ja
[mm]x_0[/mm] = x
[mm]x_0'[/mm] = [mm]x_1[/mm]
[mm]x_1'[/mm] = [mm]x_2[/mm] = x'' = -1 - tx
[mm]\vektor{x_0 \\ x_1}'[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -t & 0 }[/mm] *[mm]\vektor{x_0 \\ x_1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
Das ist doch ziemlich ähnlich wie die Lösung von Al-Chwarizmi? Stimmt also nun meine Lösung auch?
Und wie steht es mit folgendem Gleichungssystem:
x'' = x'y + y'x + cos(x)
y'' = [mm]x'y^2[/mm] + [mm]y'x^2[/mm]
Auf folgende Lösung bin ich gekommen:
[mm]x_0[/mm] = x
[mm]x_0'[/mm] = [mm]x_1[/mm]
[mm]x_1'[/mm] = [mm]x_2[/mm] = x'y + y'x + cos(x) = [mm]x_1y_0[/mm]+ [mm]y_1x_0[/mm] + [mm]cos(x_0)[/mm]
[mm]y_0[/mm] = y
[mm]y_0'[/mm] = [mm]y_1[/mm]
[mm]y_1'[/mm] = [mm]x'y^2[/mm] + [mm]y'x^2[/mm] = [mm]x_1y_0^2[/mm] + [mm]y_1x_0^2[/mm]
[mm]\vektor{x_0 \\ x_1}'[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ y_1 & y_0 }[/mm] *[mm]\vektor{x_0 \\ x_1}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ cos(x_0)}[/mm]
[mm]\vektor{y_0 \\ y_1}'[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ x_1y_0 & x_0^2 }[/mm] * [mm]\vektor{y_0 \\ y_1}[/mm]
Hier bin ich mir aber nicht sicher, wie ich das lösen soll,
da Potenzen in der Gleichung vorkommen...? Oder ist mein
System korrekt?
|
|
|
| |
|
hallo jokerose,
> Meine Lösung zu Aufgabe c) wäre ja
>
> [mm]x_0[/mm] = x
> [mm]x_0'[/mm] = [mm]x_1[/mm]
> [mm]x_1'[/mm] = [mm]x_2[/mm] = x'' = -1 - tx
>
> [mm]\vektor{x_0 \\ x_1}'= \pmat{ 0 & 1 \\ -t & 0 }*\vektor{x_0 \\ x_1}+\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> Das ist doch ziemlich ähnlich wie die Lösung von
> Al-Chwarizmi? Stimmt also nun meine Lösung auch?
Das ist nicht nur ähnlich, es ist äquivalent.
Nur eben etwas andere Bezeichnungen.
> Und wie steht es mit folgendem Gleichungssystem:
>
> x'' = x'y + y'x + cos(x)
> y'' = [mm]x'y^2[/mm] + [mm]y'x^2[/mm]
das will ich mir noch anschauen (dies jetzt wirklich als
ein DGL-System für zwei Funktionen x(t) und y(t) )
LG al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Und wie steht es mit folgendem Gleichungssystem:
>
> x'' = x'y + y'x + cos(x)
> y'' = [mm]x'y^2[/mm] + [mm]y'x^2[/mm]
>
> Auf folgende Lösung bin ich gekommen:
>
> [mm]x_0[/mm] = x
> [mm]x_0' = x_1[/mm]
> [mm]x_1'=x_2= x'y + y'x + cos(x) = x_1y_0+ y_1x_0+ cos(x_0)[/mm]
>
> [mm]y_0[/mm] = y
> [mm]y_0'= y_1[/mm]
> [mm]y_1'=x'y^2+y'x^2=x_1y_0^2+y_1x_0^2[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_0 \\ x_1}'= \pmat{ 0 & 1 \\ y_1 & y_0 }*\vektor{x_0 \\ x_1}+\vektor{0 \\cos(x_0)}[/mm]
>
>
> [mm]\vektor{y_0 \\ y_1}' = \pmat{ 0 & 1 \\ x_1y_0 & x_0^2 } * \vektor{y_0 \\ y_1}[/mm]
So weit ich sehe, ist dies auch korrekt.
Um klar zu machen, dass alles zusammengehört, würde
ich aber vorziehen, die gesuchte "Superfunktion" zu
einem Vierervektor zusammenzufassen und nicht zu
zwei (sich gegenseitig beeinflussenden) Zweiervektoren.
Setzt man
[mm] x_0=x(t)
[/mm]
[mm] x_1=x'(t)
[/mm]
[mm] x_2=y(t)
[/mm]
[mm] x_3=y'(t)
[/mm]
so kommt man zur Differentialgleichung:
[mm] \bruch{d}{dt}\ \vektor{x_0(t)\\x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)}=\vektor{x_1\\x_1*x_2+x_0*x_3+cos(x_0)\\x_3\\x_1*x_2^2+x_0^2*x_3}
[/mm]
Diese Matrixdarstellung würde ich gar nicht weiter umformen,
da man mit den Methoden der linearen Algebra (und linearen
Differentialgleichungen) hier wohl ohnehin nicht weiter kommt.
> Hier bin ich mir aber nicht sicher, wie ich das lösen soll,
> da Potenzen in der Gleichung vorkommen...?
Es ist kein lineares Gleichungssystem. Wenn ich mich
richtig erinnere, war aber in der Aufgabe gar nicht verlangt,
das System zu lösen, sondern bloss, es auf ein DGL-System
1.Ordnung zu reduzieren. Dies ist hiermit schon getan.
Möglicherweise ist ja geplant, solche DGL-Systeme erster
Ordnung dann mit numerischen Methoden zu lösen (z.B.
Runge-Kutta). So etwas "zu Fuß" aufzulösen, ist ohnehin
jenseits der üblichen Talente !
Darf ich dir zum Schluss noch einen Tipp zu TeX geben:
du könntest mit den Symbolen [mm] und [mm] [\backslash{mm}]
[/mm]
viel sparsamer umgehen ! (schau dir den Quelltext dieser
Meldung an !) 
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 17.08.2008 | | Autor: | jokerose |
hallo Al-Chwarizmi ,
Vielen Dank für deine tolle Hilfe.
Gruss jokerose
|
|
|
|
