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| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie eine allgemeine Lösung
a) [mm] y'+3y=x+e^{-2x}
[/mm]
2. Lösen Sie das Anfangswertproblem
a) [mm] y'-y=2xe^{2x} [/mm] ; y(0)=1 |
Hallo ihr!
Ich hab mal wieder ein paar Schwierigkeiten beim Rechnen.
Also bei der 1. würde ich so anfangen:
[mm] y'+3y=x+e^{-2x} \gdw [/mm] dy/dx [mm] +3y=x+e^{-2x} \gdw dy+3y*dx=(x+e^{-2x})*dx
[/mm]
Bevor ich die Stammfunktionen bilde, müsste ich doch jetzt erst alle y mit dy auf eine Seite bringen und alle dx mit x auf die andere. ???????
Bei der 2) habe ich genau das gleiche Problem, dass ich keine Stammfunktion bilden kann, weil ich die x und y nicht getrennt bekomme.
Wäre sehr dankbar über eure Hilfe!!!!
Lg
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Hallo Mathe-Alfi,
> 1. Bestimmen Sie eine allgemeine Lösung
> a) [mm]y'+3y=x+e^{-2x}[/mm]
> 2. Lösen Sie das Anfangswertproblem
> a) [mm]y'-y=2xe^{2x}[/mm] ; y(0)=1
> Hallo ihr!
> Ich hab mal wieder ein paar Schwierigkeiten beim Rechnen.
>
> Also bei der 1. würde ich so anfangen:
> [mm]y'+3y=x+e^{-2x} \gdw[/mm] dy/dx [mm]+3y=x+e^{-2x} \gdw dy+3y*dx=(x+e^{-2x})*dx[/mm]
>
> Bevor ich die Stammfunktionen bilde, müsste ich doch jetzt
> erst alle y mit dy auf eine Seite bringen und alle dx mit x
> auf die andere. ???????
Löse zuerst die homogene DGL
[mm]y'+3y=0[/mm]
Um zur partikulären Lösung kannst Du entweder den
Ansatz entsprechend der Störfunktion wählen.
Oder Du arbeitest mit der Methode der ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten.
>
> Bei der 2) habe ich genau das gleiche Problem, dass ich
> keine Stammfunktion bilden kann, weil ich die x und y nicht
> getrennt bekomme.
>
> Wäre sehr dankbar über eure Hilfe!!!!
> Lg
>
Gruß
MathePower
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Es tut mir wirklich Leid,...aber ich verstehe gar nicht *heul*
Gibt es da nicht einen einfachen Leitfaden, wei man bei solchen Aufgabenstellungen vorgeht?
Hilfe.....
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Hallo,
einen Leitfaden hat dir Mathepower ja schon gegeben. Ob er nun einfach ist oder nicht muss wohl jeder für sich selbst entscheiden. Einen anderen Weg gibt es jedenfalls nicht.
Wie weit bist du denn bisher gekommen? Hast du schon die homogene Gleichung gelöst?
Gruß Patrick
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Naja, ich komme nur soweit, dass ich halt eine Stammfunktion von y'=-3y bilde, also [mm] y=-(3/2)y^2, [/mm] aber was hilft mir das? Sonst weiß ich nicht, wie man das hom. GS lösen kann.
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Hallo Mathe-Alfi,
> Naja, ich komme nur soweit, dass ich halt eine
> Stammfunktion von y'=-3y bilde, also [mm]y=-(3/2)y^2,[/mm] aber was
> hilft mir das? Sonst weiß ich nicht, wie man das hom. GS
> lösen kann.
Du musst hier $y'=-3y$ die Variablen trennen.
Es ist ja y eine Funktion in der Variablen x (zB.), also $y:=y(x)$
$y'=-3y \ \ \ [mm] \mid\cdot{}\frac{1}{y}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ y'=-3$
Also [mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ [mm] \frac{dy}{dx}=-3 [/mm] \ \ \ [mm] \mid\cdot{} [/mm] dx$
Damit [mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ dy=-3 \ dx$
Nun erst auf beiden Seiten integrieren
[mm] $\int{\frac{1}{y} \ dy}=\int{-3 \ dx}$ [/mm] ...
Das gibt dir die homogene Lösung, für die Gesamtlösung musst du nachher noch (wie bereits erwähnt) Variation der Konstanten machen
LG
schachuzipus
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Ist das dann lny=-3x oder lny=-3y? Und nach was genau soll ich dann am Schluss auflösen?
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Hallo nochmal,
> Ist das dann lny=-3x oder lny=-3y?
Rechterhand integrierst du doch nach x, also -3x
Aber du musst ein bisschen sorgfältiger sein!
Das Integral von [mm] $\frac{1}{y}$ [/mm] ist nicht [mm] $\ln(y)$, [/mm] sondern [mm] $\ln(|y|)$
[/mm]
Außerdem fehlen die Integrationskonstanten
[mm] $\int{\frac{1}{y} \ dy}=\int{-3 \ dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln(|y|) [/mm] \ + \ [mm] c_1 [/mm] \ = \ -3x \ + \ [mm] c_2$
[/mm]
[mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] kannst du zu einer Konstanten $C$ zusammenfassen, also hast du
[mm] $\ln(|y|) [/mm] \ = \ -3x \ + \ C$
> Und nach was genau soll
> ich dann am Schluss auflösen?
Du musst nach $y=y(x)$ auflösen, beginne damit, auf beide Seiten die e-Funktion anzuwenden ...
LG
schachuzipus
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Ok, sorry erstmal für mein Chaos :(...
Also weiter gehts mit:
ln(|y|)=-3x+C [mm] \gdw |y|=e^{-3x+C}
[/mm]
Ist das jetz tdie Lösung? Und wie bekomme ich die andere gewollte?
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Hallo nochmal,
> Ok, sorry erstmal für mein Chaos :(...
>
> Also weiter gehts mit:
>
> ln(|y|)=-3x+C [mm]\gdw |y|=e^{-3x+C}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun Potenzgesetze anwenden [mm] $|y(x)|=e^{C}\cdot{}e^{-3x}$
[/mm]
[mm] $e^C$ [/mm] ist eine Konstante, die können wir wieder umtaufen in $D$
Also [mm] $|y(x)|=D\cdot{}e^{-3x}$
[/mm]
Beachte, dass die linke Seite stets [mm] $\ge [/mm] 0$ ist, also muss [mm] $D\in\IR^+_0$ [/mm] sein
Klar?
Um den Betrag aufzulösen, schreiben wir nun [mm] $y(x)=E\cdot{}e^{-3x}$ [/mm] mit [mm] $E\in\IR$
[/mm]
So das ist nun die hom. Lösung
Nun Variation der Konstanten:
Mache E von x abh. und schreibe [mm] $y(x)=E(x)\cdot{}e^{-3x}$
[/mm]
Damit berechne nun $y'(x)$ (Produktregel beachten) und vergleiche mit der Ausgangsdgl.
Dann kommst du auf eine Bedingung $E'(x)=...$, aus der du $E(x)$ berechnen kannst ...
>
> Ist das jetz tdie Lösung? Und wie bekomme ich die andere
> gewollte?
LG
schachuzipus
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Also:
[mm] y'(x)=E'(x)*e^{-3x}+E(x)*-3e^{-3x} \gdw E'(x)*e^{-3x}=y'(x)-E(x)*-3e^{-3x} \gdw E'(x)=\bruch{y'(x)-E(x)*-3e^{-3x}}{e^{-3x}}
[/mm]
Und jetzt E(x) ausrechnen?
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Hallo nochmal,
*huch*
> Also:
> [mm]y'(x)=E'(x)*e^{-3x}+E(x)*-3e^{-3x} [/mm]
> [mm] \gdw E'(x)*e^{-3x}=y'(x)-E(x)*-3e^{-3x} \gdw E'(x)=\bruch{y'(x)-E(x)*-3e^{-3x}}{e^{-3x}}[/mm]
>
> Und jetzt E(x) ausrechnen?
Nee, du hast richtig berechnet [mm] $\red{y'(x)=E'(x)\cdot{}e^{-3x}-3E(x)e^{-3x}}$
[/mm]
Die Ausgangsdgl. war [mm] $y'=-3y+x+e^{-2x}$
[/mm]
Da setze das eben berechnete y ein
[mm] $\gdw \blue{y'}=-3\cdot{}(E(x)\cdot{}e^{-3x})+x+e^{-2x}\blue{=-3E(x)\cdot{}e^{-3x}+x+e^{-2x}}$
[/mm]
Vergleiche nun blau und rot
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Di 14.07.2009 | | Autor: | Mathe-Alfi |
Ok, ich sehe das ein Teil sich gleicht und ein Teil verschieden ist?
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Muss ich jetzt -3E(x)*e^-3x=x+e^-2x gleichsetzen und nach E(x) auflösen?
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Hallo nochmal,
> Muss ich jetzt -3E(x)*e^-3x=x+e^-2x gleichsetzen und nach
> E(x) auflösen?
nach Vergleich bleibt doch kein $E(x)$, sondern
[mm] $E'(x)\cdot{}e^{-3x}=x+e^{-2x}$
[/mm]
Das multipliziere auf beiden Seiten mit [mm] $e^{3x}$, [/mm] dann hast du $E'(x)$ isoliert und kannst $E(x)$ durch Integration beider Seiten bestimmen ...
LG
schachuzipus
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Ok, zwischendurch schnell ein GROßES DANKE für die Mühe mir Chaot das alles so stückchenweise beizubringen :))))
[mm] E'(x)=x*e^{-3x}+e^{-5x} [/mm] Wenn man das auf beiden Seiten integriert:
E(x)= [mm] -(1/3)x*e^{-3x}-(1/5)*e^{-5x} [/mm] bei dieser Stammfunktion bin ich mir leider unsicher obs stimmt...
Falls sie stimmt hätten wir E(x) bestimmt und somit auch die Gleichung [mm] y(x)=-(1/3)x*e^{-3x}-(1/5)*e^{-5x} *e^{-3x}
[/mm]
Ist das die gewollte Lösung?
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Hallo nochmal,
> Ok, zwischendurch schnell ein GROßES DANKE für die Mühe
> mir Chaot das alles so stückchenweise beizubringen :))))
>
> [mm]E'(x)=x*e^{-3x}+e^{-5x}[/mm]
Hmm, ich habe zwar schon das ein oder andere Kölsch intus, aber wenn mich nicht alles täuscht und mein Schmierzettel nicht lügt, dann hatten wir doch:
[mm] $E'(x)\cdot{}e^{-3x}=x+e^{-2x}$
[/mm]
Da bin ich ziemlich sicher!
Wenn man das nun mit [mm] $e^{3x}$ [/mm] multipliziert, gibt das doch
[mm] $E'(x)=xe^{3x}+e^x$
[/mm]
oder täuschen mich meine blutunterlaufenen Augen da?
Nun das Integral aufspalten in [mm] $\int{xe^{3x} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{e^x \ dx}$ [/mm] und das erste Integral mit partieller Integration kaputt machen
> Wenn man das auf beiden Seiten
> integriert:
> E(x)= [mm]-(1/3)x*e^{-3x}-(1/5)*e^{-5x}[/mm] bei dieser
> Stammfunktion bin ich mir leider unsicher obs stimmt...
> Falls sie stimmt hätten wir E(x) bestimmt und somit auch
> die Gleichung [mm]y(x)=-(1/3)x*e^{-3x}-(1/5)*e^{-5x} *e^{-3x}[/mm]
>
> Ist das die gewollte Lösung?
Nä!
Gruß
schachuzipus
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Ok, es leigt leider nicht an den Kölsch, sondern mal wieder an mir.....vielleicht sollte ich auch was trinken ;)
Also was ist jetzt nun wieder partielle Integration? Soll ich jetzt die Stammfunktionen bilden?
Lg
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Hallo nochmal,
> Ok, es leigt leider nicht an den Kölsch, sondern mal
> wieder an mir.....vielleicht sollte ich auch was trinken
> ;)
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
>
> Also was ist jetzt nun wieder partielle Integration?
Du verschei**** mich ...
partielle Integration oder Produktintegration musst du doch kennen
> Soll ich jetzt die Stammfunktionen bilden?
Ja sicher, auf beiden Seiten, dann bekommst du linkerhand $E(x)$ und rechter Hand ...
Deine Aufgabe ...
> Lg
Jo
schachuzipus
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Arg....also ich hab mal so rumgerechnet....laut wiki und der formel dort hab ich am schluss dann eine Stammfunktion, etwa so:
[mm] E(x)=[x*(1/3)*e^{3x}]+[e^{3x}]+e^{x}
[/mm]
Nagut, wir können jetzt ja mal annehmen dass die Stammfunktion so ungefähr stimmt.....
Und kann ich jetzt endlich E(x) in die Gleichung y(x)=E(x)*e^-3x einsetzen (hoffentlich ;))
Lg
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Hallo nochmal,
Mensch, das Tippen fällt nicht mehr so leicjt --> last answer for today
> Arg....also ich hab mal so rumgerechnet....laut wiki und
> der formel dort hab ich am schluss dann eine Stammfunktion,
> etwa so:
>
> [mm]E(x)=[x*(1/3)*e^{3x}]+[e^{3x}]+e^{x}[/mm]
Puh, poste doch Zwischenschritte, das kann doch so kein Mensch sagen
Ich erhalte:
[mm] $\int{xe^{3x} \ dx}=\frac{1}{3}xe^{3x}-\int{\frac{1}{3}e^{3x} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}\int{e^{3x} \ dx}=\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{3}e^{3x}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}$
[/mm]
Hinzu kommt natürlich das [mm] $e^x$ [/mm] vom zweiten Integral
Das sieht nicht wie deine Lösung aus, also rechne am besten nochmal nach - ich übernehme keine Gewähr
>
> Nagut, wir können jetzt ja mal annehmen dass die
> Stammfunktion so ungefähr stimmt.....
> Und kann ich jetzt endlich E(x) in die Gleichung
> y(x)=E(x)*e^-3x einsetzen (hoffentlich ;))
> Lg
>
So. für mich heißt's ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Mathe-Alfi |
Ja, Gute Nacht =D
Vielen Dank, ich frage dann morgen weiter ;)
Lg
Mathe-Alfi
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| Aufgabe | 2.Lösen Sie das Anfangswertproblem
a) [mm] y'-y=2xe^{2x} [/mm] ; y(0)=1 |
Hallo mal wieder ;)
Nachdem ich den ersten Aufgabenteil dank der großen Geduld von Schachuzipus nun erledigt habe, fehlt noch der zweite Aufgabenteil:
Lösen Sie das Anfangswertproblem
a) [mm] y'-y=2xe^{2x} [/mm] ; y(0)=1
Wie geht man da vor? Auch erst homogene Lösung suchen und dann Stammfunktion bilden?
Lg und schonmal vielen Dank!
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Hallo Mathe-Alfi,
> 2.Lösen Sie das Anfangswertproblem
> a) [mm]y'-y=2xe^{2x}[/mm] ; y(0)=1
> Hallo mal wieder ;)
>
> Nachdem ich den ersten Aufgabenteil dank der großen Geduld
> von Schachuzipus nun erledigt habe, fehlt noch der zweite
> Aufgabenteil:
>
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
> a) [mm]y'-y=2xe^{2x}[/mm] ; y(0)=1
>
> Wie geht man da vor? Auch erst homogene Lösung suchen und
> dann Stammfunktion bilden?
Ja, analog zum ersten Aufgabenteil.
Nachdem Du die allgemeine Lösung ermittelt hast,
setzt Du die Anfangsbedingung ein, um eine spezielle Lösung zu erhalten.
>
> Lg und schonmal vielen Dank!
Gruß
MathePower
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Hallo und Danke für die schnelle Antwort.
Also wenn ich das mal rechne: [mm] y'-y=2x*e^{2x}, [/mm] y(0)=1
y'-y=0 [mm] \gdw [/mm] 1/y dy=dx [mm] \gdw \integral_{a}^{b}{1/y } dy=\integral_{a}^{b}{1 dx} \gdw [/mm] ln|y|=x [mm] \gdw y=e^{x}+C [/mm] (C ist Konstante)
Wenn ich jetzt die Anfangsbedingung y(0)=1 einsetzte, dann erhalte ich für c=0, aber jetzt habe ich ja nicht [mm] 2xe^{2x} [/mm] benutzt?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 15.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Arbeit ein bissel langsamer und dafuer genauer. und vergleich mit den vorigen posts.
Die Anfangsbedingung kannst du erst einsetzen, wenn du die ganze Loesung hast.
[mm] y=D*e^x [/mm] (das C steht im exponenten.
jetzt wie zuvor Variation der Konstanten.
und sieh dir sorgfaeltig an, wie das bei der vorigen aufgabe lief!
Gruss leduart
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Also so weit bin ich mit der Aufgabe gekommen:
[mm] y'-y=2xe^{2x} [/mm] , y(0)=1
Homogene Lösung:
y'-y=0 [mm] \gdw [/mm] dy/dx-y=0 [mm] \gdw [/mm] 1/y dy= dx [mm] \gdw \integral_{a}^{b}{1/y dy}=
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{1 dx} \gdw [/mm] ln|y|+c1=x+c2 [mm] \gdw y=e^{x}*e^{C} (e^{C} [/mm] ist Konstante, nenne E(X), abhängig von x).
Also [mm] y(x)=e^{x}*E(X) \Rightarrow y'(x)=E(x)*e^{x}+E'(x)*e^{x}
[/mm]
Da y'(x) auch [mm] 2xe^{2x}+e^{x}*E(X) [/mm] gilt:
[mm] E'(x)*e^{x}=2xe^{2x} \gdw E'(x)=2xe^{x}
[/mm]
Durch partielle Integration:
[mm] E(x)=2xe^{x}-2e^{x}
[/mm]
Muss ich hier nun die Anfangsbedinung einsetzten, indem ich E(x) mit einer anderem Parameter versehe und in die Gleichung [mm] y(x)=e^{x}*E(X) [/mm] einsetzte? Und dann den Parameter ausrechnen?
Danke un dliebe Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Do 16.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die Integrationskonstante vergessen! die ist hier wirklich wichtig.
also $ [mm] E(x)=2xe^{x}-2e^{x}+C [/mm] $
[mm] y=e^x*E(x) [/mm] und dann C aus den Anfangsbed. bestimmen.
( Die allgemiene Loesung einer Dgl 1. Ordnung, muss IMMER eine Konstante enthalten, die erst durch die Anfangsbed. festgelegt wird.
(ich denk, die hast du auch in der vorigen Aufgabe vergessen?)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 16.07.2009 | | Autor: | Mathe-Alfi |
Aha, jetzt versteh ich :))))
Vielen vielen Dank!!!!!
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