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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Do 02.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Geben Sie eine Lösung für die folgenden Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme an:
1. [mm] 3y''+2y'-5y=5t^{2}-4t-11 [/mm] mit [mm] y_{0}=4 [/mm] y'_{0}=3
2. y''-7y'=50sin(x)+7x mit [mm] y_{0}=11 [/mm] y'_{0}=47 |
Hallo,
ich habe mit der grundsätzlichen Lösung dieser Aufgaben eigentlich keine großen Probleme. Ich raff nur das mit der Resonanz nicht.
Also was ich bisher gemacht habe:
Zu Aufgabe 1:
-Charakteristisches Polynom: [mm] 3\lambda^2+2\lambda-5=0
[/mm]
NS: [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=-\bruch{5}{3}
[/mm]
-Lös der homogenen DGL: [mm] y_{t}=Ae^t+B*e^{-\bruch{3}{5}t}
[/mm]
Dann steht in der Musterlösung folgendes:
Der Störfunktion ist die Komplexe Zahl [mm] \lambda=0 [/mm] zuzuordnen. Diese ist keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher liegt keine Resonanz vor.
Das ist der Teil den ich nicht verstehe. Wie kommt man auf [mm] \lambda=0 [/mm] und warum liegt deshalb keine Resonanz vor????
Weiter gehts dann wieder ganz normal mit der Störfunktion, Koeffizientenvergleich, eisetzten der Anfangswerte...
Zu Aufgabe 2:
-Charakteristisches Polynom: [mm] \lambda^2-7\lambda=0
[/mm]
NS: [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=7
[/mm]
-Lös der homogenen DGL: A+B*e^7x
Dann das Gleiche Problem. Musterlösung:
Es handelt sich hier um eine zusammengesetzte Störfunktion. Der Störfunktion [mm] S_{1}(x)=50sin(x) [/mm] ist die komplexe Zahl [mm] \lambda_{s}=i [/mm] zuzuordnen, der Störfunktion [mm] S_{2}(x)=7x [/mm] ist die komplexe Zahl [mm] \lambda_{s}=0 [/mm] zuzuordnen. Daher liegt für [mm] S_{1}(x)=50sin(x)keine [/mm] Resonanz vor und für [mm] S_{2}(x)=7x [/mm] einfache Resonanz vor.
Weiter wie gewohnt...
Also, nochmal zu meinen Fragen: Wie funktioniert das mit dem zuordnen der komplexen Zahlen und woran erkennt man das keine Resonanz, einfache Resonanz oder zweifache Resonanz usw. vorliegt????
Die Resonanz hat meines Erachtens keinen Effekt auf den restlichen Lösungsweg. Für was ist sowas dann gut???
Hier noch ein Auszug aus unserer Formelsammlung:
(weiss aber nicht ob das Hilft bzw. mit meinem Problem zu tun hat)
Ansatz in Form der Störfunktion
Gegeben sei die DGL
[mm] y''+a_{1}y'+a_{2}y=f_{(x)}
[/mm]
Gilt
[mm] f_{(x)}=e^{\alpha*x}(p_{n}(x)*cos\beta*x+p_{m}(x)*sin\beta*x)
[/mm]
Wobei [mm] p_{n} [/mm] und [mm] p_{m} [/mm] Polynome n-ten bzw. m-ten Grades sind, so kann eine partikuläre Lösung über den Ansatz in Form der Störfunktion erfolgen.
Vielen Dank für eure Hilfe!!!!!!
MfG
Stefan
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Hallo Stefan
die Inhomogenität soll von der Form [mm] f(x)*e^{\lambda *x} [/mm] sein, wobei f ein Polynom mit (komplexen) Koeffizienten vom Grad k ist.
Resonanzfall liegt genau dann vor wenn [mm] \lambda [/mm] Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Der Ausdruck "k-fache Resonanz" ist mir leider nicht bekannt, aber es ist naheliegend,dass damit die Vielfachheit der Nullstelle gemeint ist.
Sicher ist nun:
Ist [mm] \lambda [/mm] r-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so hat die inhomogene Diff.-gleichung eine spezielle Lösung der Form
[mm] \phi(x)= h(x)*e^{\lambda *x} [/mm] , wobei h ein Polynom vom Grad k+r ist.
Diesen Ansatz setzt du in die inhomogene Diff.-gleichung ein. Koeffizientenvergleich liefert die spezielle Lösung.
In deinem ersten Beispiel ist nun die Inhomogenität
[mm] f(x)=5t^{2}-4t-11=(5t^{2}-4t-11)*e^0
[/mm]
Also
> Der Störfunktion ist die Komplexe Zahl [mm]\lambda=0[/mm]
> zuzuordnen.
Im zweiten Beispiel wird die Inhomogenität
> 50sin(x)+7x
in die 2 Summanden aufgeteilt, je eine spezielle Lösung gesucht und diese zur endgültigen speziellen Lösung addiert.
Der 2. Summand wird behandelt wie im 1. Beispiel, mit dem Unterschied, dass jetzt Resonanz vorliegt (0 ist jetzt auch Nullstelle des charakteristischen Polynoms).
Der 1. Summand wird "koplexifiziert" d.h. man betrachtet die Inhomogenität [mm] -50i*e^{ix} [/mm]
Daher:
> .....komplexe Zahl [mm]\lambda_{s}=i[/mm] zuzuordnen, der Störfunktion
> [mm]S_{2}(x)=7x[/mm] ist die komplexe Zahl [mm]\lambda_{s}=0[/mm] zuzuordnen.
> Daher liegt für [mm]S_{1}(x)=50sin(x)keine[/mm] Resonanz vor und für
> [mm]S_{2}(x)=7x[/mm] einfache Resonanz vor.
Der "Komplexifizierungs-Trick" funktioniert deswegen, weil allgemein gilt:
Der Realteil der Lösung der Diff.-gleichung mit der komplexen Inhomogenität [mm] -50i*e^{ix} [/mm] ist Lösung der Diff.-gleichung mit der Inhomogenität [mm] Re(-50i*e^{ix})=50*sin(x), [/mm] also unserem 1. Summanden.
Zu deiner letzten Frage
> Die Resonanz hat meines Erachtens keinen Effekt auf den
> restlichen Lösungsweg. Für was ist sowas dann gut???
Die Resonanz hat doch Einfluß auf den Grad des Polynoms h beim Ansatz für die spezielle Lösung (vgl. oben)
Gruß korbinian
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