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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mi 11.10.2006 | | Autor: | meier |
| Aufgabe | | Bestimmen sie allen Funktionen y = y(x) von x²y'-2xy+xy'=y+5y' mit y(0)=6 |
Ich weiß überhaupt nicht wie ich das Anfangen soll. Ich habe eine Aufgabe in dieser Art noch nie gerechnet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 12.10.2006 | | Autor: | meier |
Tut mir leid ... Das verstehe ich nicht. Wie soll ich denn da y und y' ausklammern? Könntest du mir das vielleicht mal vorrechnen? Ich brauche immer ein Beispiel um das zu "schnallen". Ich habe noch mehr von diesen Aufgaben ... Und eigentlich wollte ich die alle lösen. Bisher habe ich im Internet kein richtiges Beispiel gefunden (welches dem gleicht).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Do 12.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
wir haben: [mm] x^{2}y'-2xy+xy'=y+5y'
[/mm]
[mm] x^{2}y'-2xy+xy'-y-5y=0
[/mm]
nun sortieren:
[mm] x^{2}y'+xy'-5y'-2xy-y=0
[/mm]
ausklammern:
[mm] (x^2+x-5)y'-(2x+1)y=0
[/mm]
du bist dran
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 12.10.2006 | | Autor: | meier |
Ja ... Vielen Dank fürs Erste ... Das kann ich nachvollziehen.
Aber wie geht es jetzt weiter? Ich habe jetzt 3 A4-Seiten (Vorder- und Rückseite, klein geschrieben) voll und komme auf nichts was mir sinnvoll erscheint.
Könntest du es mir bitte bis zum Schluß vorrechnen.
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Hmh, ich würde die Gleichung durch y teilen, und durch die erste Klammer. Dann kannst du nochmal sortieren, und kommst auf
[mm] $\bruch{y'}{y}=\bruch{2x+1}{x^2+x-5}$
[/mm]
Das integrierst du jetzt über x:
[mm] $\integral_{x_0}^{X} \bruch{y'}{y}dx=\integral_{x_0}^{X}\bruch{2x+1}{x^2+x-5}dx$
[/mm]
Auf der linken Seite kannst du die Kettenregel anwenden:
[mm] $\left[ ln(y)\right]_{x_0}^{X}=\integral_{x_0}^{X}\bruch{2x+1}{x^2+x-5}dx$
[/mm]
Auf der rechten Seite kannst du exakt den gleichen Trick anwenden.
Dann kannst du die Grenzen einsetzen, und nach y(X) auflösen. (ich hab das X genannt, damit du das nicht mit dem anderen x vertauschst...)
Achso, dann gibts ja noch Anfangsbedingungen. naja, setze einfach ein! [mm] $y(x_0)=...$ [/mm] und [mm] $x_0=...$
[/mm]
EDIT: Jetzt, wo ich die Lösung sehe - das war der rein algebraische Weg. Oft löst man sowas, indem man einige Ansätze ausprobiert. Hier hätte man natürlich sofort ein Polynom als Ansatz nehmen können. Die Koeffizienten hätten sich dann aus dem Koeffizientenvergleich ergeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Fr 13.10.2006 | | Autor: | meier |
Ich glaube ich habe es verstanden. Ich habe mal einen Arbeitskollegen gefragt ... der meinte das wäre TdV. Die Integrale haben keine Grenzen. Man bringt es in eine Form y=f(x)= ... dann setzt man x und y ein. Dann bekommt man c. Aber das ist mir nicht klar.Meine Lösung wäre:
y = x²+x-5 +c ergibt mit x = 0 und y = 6 ... c = 11
Aber die Lösung dazu ist y = -1,2(x²+x-5). Das bedeutet hier wurde nicht +c sondern *c gerechnet. Mir wurde erklärt das läge am Logarithmus ln|c|.
Und das versteh ich jetzt noch nicht.
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Hi, meier,
laut Anwort von event_Horizon ist ja:
[mm] \integral{\bruch{y'}{y}} [/mm] dy = [mm] \integral{\bruch{2x+1}{x^{2}+x-5}} [/mm] dx
Daraus erhältst Du:
ln|y| = [mm] ln|x^{5}+x-5| [/mm] + c | [mm] e^{....}
[/mm]
|y| = [mm] e^{ln|x^{5}+x-5|+ c}
[/mm]
bzw.
|y| = [mm] e^{c}*e^{ln|x^{5}+x-5|}
[/mm]
|y| = [mm] e^{c}*|x^{5}+x-5|
[/mm]
Wenn Du nun beachtest dass wegen der Betragstriche + und - herauskommen kann, Du dieses Vorzeichen aber in die Konstante d = [mm] \pm e^{c} [/mm] "hineinstecken" kannst, ist das Zwischenergebnis:
y = [mm] d*(x^{2}+x-5)
[/mm]
Und hier kannst Du nun Deine Anfangsbedingung anwenden und d = -1,2 ausrechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 13.10.2006 | | Autor: | meier |
Ja genau ... das ist es ... jetzt ist es fast klar ...
Ich dachte immer das c ein Konstante ist. Ich dachte des Weiteren, dass diese nicht in die ganzen ln un e und mal und so einbezogen wird. Und einfach nur stehen bleibt.
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Hi, meier,
die Konstante c (bzw. d) bleibt dann stehen, wenn ALLE Lösungen der DGL gesucht sind.
Hier aber hast Du ein Anfangswertproblem,
d.h. es ergibt sich als Lösung genau eine Funktion,
nämlich diejenige, deren Graph durch den Punkt P(0; 6) geht.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Fr 13.10.2006 | | Autor: | meier |
Okay ... Vielen, herzlichen Dank an alle Mitwirkenden ... Ihr habt mir dehr geholfen.
Bis zum nächsten mal.
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
- edit: auf beiden Seiten!
