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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 19.02.2013 | | Autor: | aco92 |
| Aufgabe | y''+9y = 3sin(3x)
Zu Bestimmen sind alle reellen Lösungen. |
Hi,
Ich bräuchte eure Hilfe beim nachvollziehen der Lösung.
Die homogene Lösung ist mir klar.
Nun wird die partikuläre Lösung betrachtet mit der komplexen Störfunktion:
[mm] h_{p}(x)= 3e^{3ix}
[/mm]
und man wählt den Ansatz [mm] f_{p}(x)=axe^{3ix}
[/mm]
Bis hierhin ist mir alles klar doch jetzt wird in der Lösung weitergerechnet:
"Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt mit dem
Operatorenkalkül"
[mm] (D+3i)(D-3i)axe^{3ix} [/mm] = [mm] 3e^{3ix}
[/mm]
Auch das ist mir noch einigermaßen klar. Man setzt wohl in diesen Ausdruck ein: p(D+µ) [mm] (x^{m}s(x)) [/mm] = r(x) wobei [mm] h(x)=r(x)e^{µx} [/mm]
und hier ist p(x) ja (x+3i)(x-3i)
Nun wird weiter umgeformt:
[mm] e^{3ix}(D+6i)D(ax)=3e^{3ix}
[/mm]
(D+6i)a=3
6ia=3
[mm] a=-\bruch{i}{2}
[/mm]
Mein Problem: Ich verstehe die Umformung von
[mm] (D+3i)(D-3i)axe^{3ix} [/mm] = [mm] 3e^{3ix}
[/mm]
auf
[mm] e^{3ix}(D+6i)D(ax)=3e^{3ix}
[/mm]
nicht.
Die einzige Erklärung, die ich finden konnte ist, dass man für D=D+µ=D+3i einsetzt. Aber das hat man doch oben schon gemacht? Ich weiß dass mit D die Ableitung gemeint ist.
Danke für eure Antworten!
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Hallo aco92,
> y''+9y = 3sin(3x)
> Zu Bestimmen sind alle reellen Lösungen.
> Hi,
>
> Ich bräuchte eure Hilfe beim nachvollziehen der Lösung.
> Die homogene Lösung ist mir klar.
>
> Nun wird die partikuläre Lösung betrachtet mit der
> komplexen Störfunktion:
> [mm]h_{p}(x)= 3e^{3ix}[/mm]
>
> und man wählt den Ansatz [mm]f_{p}(x)=axe^{3ix}[/mm]
>
> Bis hierhin ist mir alles klar doch jetzt wird in der
> Lösung weitergerechnet:
> "Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt mit dem
> Operatorenkalkül"
>
> [mm](D+3i)(D-3i)axe^{3ix}[/mm] = [mm]3e^{3ix}[/mm]
>
> Auch das ist mir noch einigermaßen klar. Man setzt wohl in
> diesen Ausdruck ein: p(D+µ) [mm](x^{m}s(x))[/mm] = r(x) wobei
> [mm]h(x)=r(x)e^{µx}[/mm]
> und hier ist p(x) ja (x+3i)(x-3i)
>
> Nun wird weiter umgeformt:
>
> [mm]e^{3ix}(D+6i)D(ax)=3e^{3ix}[/mm]
> (D+6i)a=3
> 6ia=3
> [mm]a=-\bruch{i}{2}[/mm]
>
> Mein Problem: Ich verstehe die Umformung von
> [mm](D+3i)(D-3i)axe^{3ix}[/mm] = [mm]3e^{3ix}[/mm]
> auf
> [mm]e^{3ix}(D+6i)D(ax)=3e^{3ix}[/mm]
> nicht.
>
> Die einzige Erklärung, die ich finden konnte ist, dass man
> für D=D+µ=D+3i einsetzt. Aber das hat man doch oben schon
> gemacht? Ich weiß dass mit D die Ableitung gemeint ist.
>
Den Ausdruck [mm](D+3i)(D-3i)axe^{3ix}[/mm] mußt Du entsprechend umformen,
d.h. zuerst ist der Ausdruck
[mm](D-3i)axe^{3ix}[/mm]
zu berechnen, wobei die Ableitung der Exponentialfunktion
anzugeben ist.
Schliesslich ist auf diesen Ausdruck D+3i anzuwenden.
> Danke für eure Antworten!
Gruss
MathePower
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