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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 03.01.2012 | | Autor: | thadod |
Guten abend Matheraum.
Leider stehe ich nun vor einer Herausforderung eine Aufgabe zu lösen, mit der ich mich zur Zeit sehr schwer tu...
Es sei [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm] rot(\gamma [/mm] grad [mm] \gamma). [/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn ja, welcher Funktion.
[mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] beschreibt ja ein skalares Feld. Es sei somit [mm] \gamma=(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)
[/mm]
grad [mm] \gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1^2+\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1\gamma_2+\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1\gamma_3 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2\gamma_1+\bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2^2+\bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2\gamma_3 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3\gamma_1+\bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3\gamma_2+\bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3^2}
[/mm]
Doch wie kann ich nun erklären, ob es sich bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] um ein Gradientenfeld handelt?
Uns wurde zum Gradientenfeld folgendes erklärt (Sofern ich mich noch richtig erinnere):
Wenn wir uns beispielsweise eine Pizze im Ofen machen und anschließend den Ofen offen lassen, dann erwärmt sich der Raum. Ein Gradientenfeld beschreibt anschließend für jeden Vektor die an diesem Punkt herrschende Temperatur.
Wo weit so gut. Aber wie lässt sich das nun auf meine Rechnung übertragen?
Hoffe ihr versteht mein Anliegen und ich wäre für jede Hilfe wirklich sehr dankbar.
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Di 03.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Guten abend Matheraum.
>
> Leider stehe ich nun vor einer Herausforderung eine Aufgabe
> zu lösen, mit der ich mich zur Zeit sehr schwer tu...
>
> Es sei [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm]rot(\gamma[/mm] grad
> [mm]\gamma).[/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei
> [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn
> ja, welcher Funktion.
>
> [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] beschreibt ja ein skalares Feld. Es
> sei somit [mm]\gamma=(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)[/mm]
das ist falsch. [mm] $\gamma$ [/mm] ist ein skalares Feld, eine Abbildung nach [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Es ist also skalar und nicht vektoriell: [mm] $\gamma=\gamma(x,y,z)$
[/mm]
>
> grad [mm]\gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3}[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1^2+\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1\gamma_2+\bruch{\partial}{\partial x}\gamma_1\gamma_3 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2\gamma_1+\bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2^2+\bruch{\partial}{\partial y}\gamma_2\gamma_3 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3\gamma_1+\bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3\gamma_2+\bruch{\partial}{\partial z}\gamma_3^2}[/mm]
Das stimmt also alles nicht.
>
> Doch wie kann ich nun erklären, ob es sich bei [mm]\gamma[/mm] grad
> [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt?
Wenn die Rotation eines Feldes verschwindet handelt es sich um ein Gradientenfeld, da sich das (Vektor-)Feld dann als Gradient einer skalaren Funktion (man sagt auch Potential) schreiben lässt.
>
> Uns wurde zum Gradientenfeld folgendes erklärt (Sofern ich
> mich noch richtig erinnere):
> Wenn wir uns beispielsweise eine Pizze im Ofen machen und
> anschließend den Ofen offen lassen, dann erwärmt sich der
> Raum. Ein Gradientenfeld beschreibt anschließend für
> jeden Vektor die an diesem Punkt herrschende Temperatur.
Das was hier beschrieben wird ist ein Skalarfeld, kein Gradientenfeld (=Vektorfeld).
>
> Wo weit so gut. Aber wie lässt sich das nun auf meine
> Rechnung übertragen?
Gar nicht, das ist lediglich eine Veranschaulichung, dass Du Dir darunter was vorstellen kannst.
>
> Hoffe ihr versteht mein Anliegen und ich wäre für jede
> Hilfe wirklich sehr dankbar.
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 03.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Hilfe.
Leider hatte ich dann einen kleinen Denkfehler in der Aufgabe. Von daher vielen vielen Dank, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast.
Hier nochmal die Aufgabe:
Es sei $ [mm] \gamma [/mm] $ : $ [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] $ zweimal stetig differenzierbar. Berechnet werden soll nun $ [mm] rot(\gamma [/mm] $ grad $ [mm] \gamma). [/mm] $ Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei $ [mm] \gamma [/mm] $ grad $ [mm] \gamma [/mm] $ um ein Gradientenfeld handelt, und wenn ja, welcher Funktion.
$ [mm] \gamma [/mm] $ : $ [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] $ beschreibt ein skalares Feld und es sei somit $ [mm] \gamma=\gamma(x, [/mm] y, z) $
und es gilt daher grad $ [mm] \gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma} [/mm] $
Dann müsste doch für [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] folgendes gelten: [mm] \gamma [/mm] grad $ [mm] \gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma^2} [/mm] $ oder?
mfg thadod
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Hallo thadod,
> Hallo und danke für deine Hilfe.
>
> Leider hatte ich dann einen kleinen Denkfehler in der
> Aufgabe. Von daher vielen vielen Dank, dass du mich darauf
> aufmerksam gemacht hast.
>
> Hier nochmal die Aufgabe:
>
> Es sei [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm]rot(\gamma[/mm] grad
> [mm]\gamma).[/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei
> [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn
> ja, welcher Funktion.
>
> [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] beschreibt ein skalares Feld und es
> sei somit [mm]\gamma=\gamma(x, y, z)[/mm]
>
> und es gilt daher grad
> [mm]\gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma}[/mm]
>
> Dann müsste doch für [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] folgendes gelten:
> [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma^2}[/mm]
> oder?
>
Nein.
Es ist doch
[mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma=\vektor{\red{\gamma}\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \red{\gamma}\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \red{\gamma}\bruch{\partial}{\partial z}\gamma}[/mm]
> mfg thadod
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 03.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Hilfe...
Darüber hatte ich mir auch schon gedanken gemacht gerade. Leider hattest du dann schon geantwortet.
Man sollte eigentlich insbesondere wissen, dass z.B. [mm] \gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \not= \bruch{\partial}{\partial x}\gamma^2 [/mm] verzeihung für diesen Fehler...
Also es ist nun [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma=\vektor{\red{\gamma}\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \red{\gamma}\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \red{\gamma}\bruch{\partial}{\partial z}\gamma} [/mm]
Und somit ergibt sich ja [mm] rot(\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=rot \vektor{{\gamma}\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ {\gamma}\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ {\gamma}\bruch{\partial}{\partial z}\gamma}=\vektor{\bruch{\partial}{\partial y}\gamma\bruch{\partial}{\partial z}\gamma-\bruch{\partial}{\partial z}\gamma\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \bruch{\partial}{\partial z}\gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma-\bruch{\partial}{\partial x}\gamma\bruch{\partial}{\partial z}\gamma \\ \bruch{\partial}{\partial x}\gamma\bruch{\partial}{\partial y}\gamma-\bruch{\partial}{\partial y}\gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma}
[/mm]
Damit es sich bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] nun um ein Gradientenfeld handelt, muss [mm] rot(\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=0 [/mm] sein.
Aber wie bekomme ich nun raus bzgl. welcher Funktion dies der Fall ist???
Denn die Aufgabe lautet ja:
handelt es sich bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] um ein Gradientenfeld und wenn ja, welcher Funktion.
mfg thadod
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Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich partielle Ableitungen mit Hilfe eines Index, also [mm]\frac{\partial \gamma}{\partial x} = \gamma_x[/mm] usw.
Wir haben bereits:
[mm]\gamma \cdot \operatorname{grad} \gamma = \left( \gamma \gamma_x , \gamma \gamma_y , \gamma \gamma_z \right)[/mm]
Für die Rotation mußt du nun
[mm]\operatorname{rot} \left( \gamma \cdot \operatorname{grad} \gamma \right) = \operatorname{rot} \left( \gamma \gamma_x , \gamma \gamma_y , \gamma \gamma_z \right) = \left( \left( \gamma \gamma_z \right)_y - \left( \gamma \gamma_y \right)_z , \ \ldots \ , \ \ldots \ \right)[/mm]
berechnen. Beachte die Produktregel, z.B. [mm]\left( \gamma \gamma_z \right)_y = \gamma_y \gamma_z + \gamma \gamma_{zy}[/mm].
Um nun die Funktion zu finden, denke an den eindimensionalen Fall und versuche, die Aufgabe durch Probieren zu lösen:
Wenn [mm]g(x) = f(x) \cdot f'(x)[/mm] ist, was ist dann eine Stammfunktion [mm]G(x)[/mm] von [mm]g(x)[/mm]? Nicht rechnen! Scharf nachdenken und planvoll probieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 03.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo...
Also dann probiere ich es auch mal mit z.b. [mm] \bruch{\partial \gamma}{\partial x}=\gamma_x [/mm] usw.
Wir haben bereits gefunden [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma=\vektor{\gamma\gamma_x \\ \gamma \gamma_y \\ \gamma \gamma_z}
[/mm]
Für die rotation hätte ich nun aber berechnet:
rot [mm] (\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y \\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z \\ \gamma_x\gamma_y - \gamma_y\gamma_x}
[/mm]
Ich hatte schonmal beweisen müssen, dass rot(grad f)=0 da hatte ich das auch so gemacht. Dachte eigentlich das wäre so richtig...
Wie genau kann ich [mm] \gamma\gamma_{zy} [/mm] verstehen??
MfG thadod
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Was da steht, ist nicht falsch. Aber ich frage mich, ob du auf richtigem Weg dahin gekommen bist oder ob es zufällig richtig ist. Hast du mit der Produktregel gearbeitet, um zu diesem Term zu kommen? Im übrigen gilt bei Produkten das Kommutativgesetz, also [mm]\gamma_y \gamma_z - \gamma_z \gamma_y = \text{???}[/mm]
Und es ist [mm]\gamma_{zy} = \frac{\partial^2 \gamma}{\partial z \, \partial y}[/mm]. Dieser Ausdruck entsteht bei Anwendung der Produktregel zur Berechnung von [mm]\operatorname{rot}[/mm] (siehe meinen vorigen Beitrag).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo... Ich hatte jetzt eher damit gerechnet, dass meine Lösung falsch ist.
Denn nach deiner Argumentation, also mi Hilfe der produktregel, aus dem vorigem beitrag müsste doch eigentlich als Gesamtlösung da stehen, dass rot [mm] (\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z + \gamma\gamma_{yz} - \gamma_z\gamma_y + \gamma\gamma_{zy} \\ \gamma_z\gamma_x + \gamma\gamma_{zx} - \gamma_x\gamma_z + \gamma\gamma_{xz} \\ \gamma_x\gamma_y + \gamma\gamma_{xy} - \gamma_y\gamma_x + \gamma\gamma_{yx}}
[/mm]
Angenommen ich entscheide mich nun z.B. für die Funktion [mm] \gamma=x+y+z
[/mm]
Diese Funktion ist ja stetig und es gilt somit der Satz von Schwarz und somit gilt dann auch:
[mm] \gamma\gamma_{yz}=\gamma\gamma_{zy}
[/mm]
[mm] \gamma\gamma_{zx}=\gamma\gamma_{xz}
[/mm]
[mm] \gamma\gamma_{xy}= \gamma\gamma_{yx}
[/mm]
Wodurch sich das ganze reduziert: rot [mm] (\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y \\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z \\ \gamma_x\gamma_y- \gamma_y\gamma_x }
[/mm]
Außerdem erhalte ich ja für [mm] \gamma=x+y+z [/mm] folgende partielle Ableitungen:
[mm] \gamma_y\gamma_z [/mm] - [mm] \gamma_z\gamma_y=1-1
[/mm]
[mm] \gamma_z\gamma_x [/mm] - [mm] \gamma_x\gamma_z=1-1
[/mm]
[mm] \gamma_x\gamma_y [/mm] - [mm] \gamma_y\gamma_x=1-1
[/mm]
und somit ist ja [mm] rot(\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{0\\0\\0} [/mm] und somit würde es sich doch bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] um ein Gradientenfeld handeln oder???
MfG thadod
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Die Produktregel hast du richtig angewendet, aber da Klammern fehlen, ist es dann doch falsch. Danach hast du allerdings so gerechnet, als hätten da Klammern gestanden. Was soll man dazu sagen? So sind die Klammern zu setzen:
[mm](uv)' - (pq)' = u'v + uv' - (p'q + pq') = u'v + uv' - p'q - pq'[/mm]
Und warum wählst du dann ein spezielles [mm]\gamma[/mm]? Und schreibst nicht gleich hin, daß da 0 herauskommt?
[mm]\gamma_y \gamma_z - \gamma_z \gamma_y = 0[/mm]
[mm]12345 \cdot 67890 - 67890 \cdot 12345 = 0[/mm]
Und für den letzten Teil der Aufgabe mußt du eine Funktion [mm]g = g(x,y,z)[/mm] dreier Variablen finden mit
[mm]g_x = \gamma \gamma_x \, , \ \ g_y = \gamma \gamma_y \, , \ \ g_z = \gamma \gamma_z[/mm]
Und zwar in Abhängigkeit von [mm]\gamma[/mm]. Du darfst hier kein konkretes [mm]\gamma[/mm] vorgeben, sondern mußt mit beliebigem [mm]\gamma[/mm] rechnen.
Ich hatte dir dazu schon einen Tip gegeben: Wie lautet eine Stammfunktion der Funktion [mm]h(x) = f(x) \cdot f'(x)[/mm]? Aber auch hier mit allgemeinem [mm]f(x)[/mm] rechnen und kein [mm]f(x)[/mm] konkret vorgeben. Die Antwort mußt du dann auf den mehrdimensionalen Fall übertragen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
> Die Produktregel hast du richtig angewendet, aber da
> Klammern fehlen, ist es dann doch falsch. Danach hast du
> allerdings so gerechnet, als hätten da Klammern gestanden.
> Was soll man dazu sagen?
Ich vermute das kommt durch die Schreibweise. Ich wollte es so machen wie du, habe aber im Kopf so gerechnet wie ich es immer mache.
Fakt ist, dass wenn ich es so mache wie ich, z.b. da steht: [mm] \bruch{\partial}{\partial_y}\gamma \cdot \bruch{\partial}{\partial z}\gamma [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2}{\partial y \partial z}\gamma
[/mm]
> Und für den letzten Teil der Aufgabe mußt du eine
> Funktion [mm]g = g(x,y,z)[/mm] dreier Variablen finden mit
>
> [mm]g_x = \gamma \gamma_x \, , \ \ g_y = \gamma \gamma_y \, , \ \ g_z = \gamma \gamma_z[/mm]
>
> Und zwar in Abhängigkeit von [mm]\gamma[/mm]. Du darfst hier kein
> konkretes [mm]\gamma[/mm] vorgeben, sondern mußt mit beliebigem
> [mm]\gamma[/mm] rechnen.
>
> Ich hatte dir dazu schon einen Tip gegeben: Wie lautet eine
> Stammfunktion der Funktion [mm]h(x) = f(x) \cdot f'(x)[/mm]? Aber
> auch hier mit allgemeinem [mm]f(x)[/mm] rechnen und kein [mm]f(x)[/mm]
> konkret vorgeben. Die Antwort mußt du dann auf den
> mehrdimensionalen Fall übertragen.
Stammfunktion der Funktion h(x)=f(x) [mm] \cdot [/mm] f'(x) ist H(x)=f(x) [mm] \cdot [/mm] f(x) [mm] +c-\integral [/mm] f'(x) [mm] \cdot [/mm] f(x) dx, wobei c eine Integrationskonstante ist.
Aber wie soll mich das jetzt weiterbringen?
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Die Produktregel hast du richtig angewendet, aber da
> > Klammern fehlen, ist es dann doch falsch. Danach hast du
> > allerdings so gerechnet, als hätten da Klammern gestanden.
> > Was soll man dazu sagen?
>
> Ich vermute das kommt durch die Schreibweise. Ich wollte es
> so machen wie du, habe aber im Kopf so gerechnet wie ich es
> immer mache.
>
> Fakt ist, dass wenn ich es so mache wie ich, z.b. da steht:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial_y}\gamma \cdot \bruch{\partial}{\partial z}\gamma[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial^2}{\partial y \partial z}\gamma[/mm]
Mir ist nicht klar, was Du da machst !
>
> > Und für den letzten Teil der Aufgabe mußt du eine
> > Funktion [mm]g = g(x,y,z)[/mm] dreier Variablen finden mit
> >
> > [mm]g_x = \gamma \gamma_x \, , \ \ g_y = \gamma \gamma_y \, , \ \ g_z = \gamma \gamma_z[/mm]
>
> >
> > Und zwar in Abhängigkeit von [mm]\gamma[/mm]. Du darfst hier kein
> > konkretes [mm]\gamma[/mm] vorgeben, sondern mußt mit beliebigem
> > [mm]\gamma[/mm] rechnen.
> >
> > Ich hatte dir dazu schon einen Tip gegeben: Wie lautet eine
> > Stammfunktion der Funktion [mm]h(x) = f(x) \cdot f'(x)[/mm]? Aber
> > auch hier mit allgemeinem [mm]f(x)[/mm] rechnen und kein [mm]f(x)[/mm]
> > konkret vorgeben. Die Antwort mußt du dann auf den
> > mehrdimensionalen Fall übertragen.
>
> Stammfunktion der Funktion h(x)=f(x) [mm]\cdot[/mm] f'(x) ist
> H(x)=f(x) [mm]\cdot[/mm] f(x) [mm]+c-\integral[/mm] f'(x) [mm]\cdot[/mm] f(x) dx,
> wobei c eine Integrationskonstante ist.
Oh Gott ! Eine Stammfunktion von h ist z.B. [mm] \bruch{1}{2}f(x)^2
[/mm]
FRED
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> Aber wie soll mich das jetzt weiterbringen?
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo fred und danke für die Antwort...
Wenn die Ableitung von f(x)=f'(x) ist (ganz allgemein halt), dann muss doch aber im Umkehrschluss die Integration von f'(x)=f(x) (ganz allgemein) sein oder???
Beispiel: f(x)=x somit ist f'(x)=1 und es gilt [mm] \integral [/mm] 1 dx=x.
Somit gilt doch durch die partielle Ableitung für [mm] h(x)=\integral [/mm] f(x) [mm] \cdot [/mm] f'(x) [mm] dx=f(x)^2 [/mm] - [mm] \integral [/mm] f'(x) [mm] \cdot [/mm] f(x) dx
Ohne berücksichtigung der Integrationskonstante
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mi 04.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo fred und danke für die Antwort...
>
> Wenn die Ableitung von f(x)=f'(x) ist (ganz allgemein
> halt), dann muss doch aber im Umkehrschluss die Integration
> von f'(x)=f(x) (ganz allgemein) sein oder???
Du meinst vermutlich, wenn Funktion und Ableitung identisch sind, gilt [mm] $\int [/mm] f'(x)=f(x)+c$
Das ist richtig, aber es gibt nur eine einzige Funktion die das erfüllt. Deswegen macht es wenig Sinn, da von einem allgemeinen Fall zu sprechen.
>
> Beispiel: f(x)=x somit ist f'(x)=1 und es gilt [mm]\integral[/mm] 1
> dx=x.
Wenn man die Konstante =0 setzt stimmt auch das.
>
> Somit gilt doch durch die partielle Ableitung für
Du meinst wohl partielle Integration.
> [mm]h(x)=\integral[/mm] f(x) [mm]\cdot[/mm] f'(x) [mm]dx=f(x)^2[/mm] - [mm]\integral[/mm] f'(x)
> [mm]\cdot[/mm] f(x) dx
Das ist auch richtig, aber was willst Du damit sagen?
>
> Ohne berücksichtigung der Integrationskonstante
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo notinx und danke...
Also ich komme nochmal zu der Aufgabe und was wir bereits gefunden hatten...
Aufgabenstellung:
Es sei [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm] rot(\gamma [/mm] $ grad $ [mm] \gamma). [/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn ja, welcher Funktion.
Wir hatten gefunden:
rot [mm] (\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z + \gamma\gamma_{yz} - \gamma_z\gamma_y - \gamma\gamma_{zy} \\ \gamma_z\gamma_x + \gamma\gamma_{zx} - \gamma_x\gamma_z - \gamma\gamma_{xz} \\ \gamma_x\gamma_y + \gamma\gamma_{xy} - \gamma_y\gamma_x - \gamma\gamma_{yx}}
[/mm]
Und durch den Satz von Schwarz gilt:
[mm] \gamma\gamma_{yz}=\gamma\gamma_{zy}
[/mm]
[mm] \gamma\gamma_{zx}=\gamma\gamma_{xz}
[/mm]
[mm] \gamma\gamma_{xy}=\gamma\gamma_{yx}
[/mm]
Und somit steht dort nur noch:
rot [mm] (\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y\\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z\\ \gamma_x\gamma_y - \gamma_y\gamma_x}
[/mm]
nun soll eine Entscheidung darüber treffen, ob es sich bei [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma [/mm] um ein Gradientenfeld handelt. Hierfür muss ja gelten, dass [mm] rot(\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vec{0}
[/mm]
Hierfür soll ich wiederum eine Funktion finden, für die das erfüllt wird.
Der Tipp war gewesen:
Wie lautet eine Stammfunktion der Funktion h(x) = f(x) [mm] \cdot [/mm] f'(x)
So confused-^+^#^ö^-^#.
mfg thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 04.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinx und danke...
>
> Also ich komme nochmal zu der Aufgabe und was wir bereits
> gefunden hatten...
>
> Aufgabenstellung:
> Es sei [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm]rot(\gamma[/mm] [mm]grad[/mm]
> [mm]\gamma).[/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei
> [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn
> ja, welcher Funktion.
>
> Wir hatten gefunden:
>
> rot [mm](\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z + \gamma\gamma_{yz} - \gamma_z\gamma_y - \gamma\gamma_{zy} \\ \gamma_z\gamma_x + \gamma\gamma_{zx} - \gamma_x\gamma_z - \gamma\gamma_{xz} \\ \gamma_x\gamma_y + \gamma\gamma_{xy} - \gamma_y\gamma_x - \gamma\gamma_{yx}}[/mm]
>
> Und durch den Satz von Schwarz gilt:
> [mm]\gamma\gamma_{yz}=\gamma\gamma_{zy}[/mm]
> [mm]\gamma\gamma_{zx}=\gamma\gamma_{xz}[/mm]
> [mm]\gamma\gamma_{xy}=\gamma\gamma_{yx}[/mm]
>
> Und somit steht dort nur noch:
>
> rot [mm](\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y\\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z\\ \gamma_x\gamma_y - \gamma_y\gamma_x}[/mm]
>
> nun soll eine Entscheidung darüber treffen, ob es sich bei
> [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt. Hierfür
> muss ja gelten, dass [mm]rot(\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vec{0}[/mm]
wir haben ja schon festgestellt, dass das erfüllt ist (siehe Beitrag von Leopold_Gast). Ist Dir klar, warum das so ist?
>
> Hierfür soll ich wiederum eine Funktion finden, für die
> das erfüllt wird.
>
> Der Tipp war gewesen:
>
> Wie lautet eine Stammfunktion der Funktion h(x) = f(x)
> [mm]\cdot[/mm] f'(x)
Auch diese Frage wurde schon beantwortet (siehe Beitrag von fred97). Eine Stammfunktion von h(x) ist: [mm] $H(x)=\frac{1}{2}f^2(x)$. [/mm] Wenn Dir das nicht einleuchtet, mach es Dir durch Ableiten klar.
Ich zitiere Leopold_Gast:
"Und für den letzten Teil der Aufgabe mußt du eine Funktion $ g = g(x,y,z) $ dreier Variablen finden mit
$ [mm] g_x [/mm] = [mm] \gamma \gamma_x \, [/mm] , \ \ [mm] g_y [/mm] = [mm] \gamma \gamma_y \, [/mm] , \ \ [mm] g_z [/mm] = [mm] \gamma \gamma_z [/mm] $"
Wenn Du jetzt [mm] $g(x,y,z)=\frac{1}{2}\gamma^2(x,y,z)$ [/mm] wählst, kannst Du ja mal überprüfen, ob diese Bedingungen erfüllt sind.
>
> So confused-^+^#^ö^-^#.
>
> mfg thadod
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
> > Hallo notinx und danke...
> >
> > Also ich komme nochmal zu der Aufgabe und was wir bereits
> > gefunden hatten...
> >
> > Aufgabenstellung:
> > Es sei [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] zweimal stetig
> > differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm]rot(\gamma[/mm] [mm]grad[/mm]
> > [mm]\gamma).[/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei
> > [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn
> > ja, welcher Funktion.
> >
> > Wir hatten gefunden:
> >
> > rot [mm](\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z + \gamma\gamma_{yz} - \gamma_z\gamma_y - \gamma\gamma_{zy} \\ \gamma_z\gamma_x + \gamma\gamma_{zx} - \gamma_x\gamma_z - \gamma\gamma_{xz} \\ \gamma_x\gamma_y + \gamma\gamma_{xy} - \gamma_y\gamma_x - \gamma\gamma_{yx}}[/mm]
>
> >
> > Und durch den Satz von Schwarz gilt:
> > [mm]\gamma\gamma_{yz}=\gamma\gamma_{zy}[/mm]
> > [mm]\gamma\gamma_{zx}=\gamma\gamma_{xz}[/mm]
> > [mm]\gamma\gamma_{xy}=\gamma\gamma_{yx}[/mm]
> >
> > Und somit steht dort nur noch:
> >
> > rot [mm](\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y\\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z\\ \gamma_x\gamma_y - \gamma_y\gamma_x}[/mm]
>
> >
> > nun soll eine Entscheidung darüber treffen, ob es sich bei
> > [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt. Hierfür
> > muss ja gelten, dass [mm]rot(\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vec{0}[/mm]
>
> wir haben ja schon festgestellt, dass das erfüllt ist
> (siehe Beitrag von Leopold_Gast). Ist Dir klar, warum das
> so ist?
Es muss die Wirbelfreiheit gelten, da es sich ansonsten um ein Vektorfeld handelt...
>
> >
> > Hierfür soll ich wiederum eine Funktion finden, für die
> > das erfüllt wird.
> >
> > Der Tipp war gewesen:
> >
> > Wie lautet eine Stammfunktion der Funktion h(x) = f(x)
> > [mm]\cdot[/mm] f'(x)
>
> Auch diese Frage wurde schon beantwortet (siehe Beitrag von
> fred97). Eine Stammfunktion von h(x) ist:
> [mm]H(x)=\frac{1}{2}f^2(x)[/mm]. Wenn Dir das nicht einleuchtet,
> mach es Dir durch Ableiten klar.
>
> Ich zitiere Leopold_Gast:
> "Und für den letzten Teil der Aufgabe mußt du eine
> Funktion [mm]g = g(x,y,z)[/mm] dreier Variablen finden mit
>
> [mm]g_x = \gamma \gamma_x \, , \ \ g_y = \gamma \gamma_y \, , \ \ g_z = \gamma \gamma_z [/mm]"
Genau das verstehe ich nicht...
Ich will doch zeigen, dass rot [mm] (\gamma [/mm] grad [mm] \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y\\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z\\ \gamma_x\gamma_y - \gamma_y\gamma_x}=\vektot{0\\0\\0} [/mm] und nicht, dass [mm] \gamma [/mm] grad [mm] \gamma=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
>
> Wenn Du jetzt [mm]g(x,y,z)=\frac{1}{2}\gamma^2(x,y,z)[/mm] wählst,
> kannst Du ja mal überprüfen, ob diese Bedingungen
> erfüllt sind.
>
> >
> > So confused-^+^#^ö^-^#.
> >
> > mfg thadod
>
> Gruß,
>
> notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 04.01.2012 | | Autor: | notinX |
> > > Hallo notinx und danke...
> > >
> > > Also ich komme nochmal zu der Aufgabe und was wir bereits
> > > gefunden hatten...
> > >
> > > Aufgabenstellung:
> > > Es sei [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] zweimal stetig
> > > differenzierbar. Berechnet werden soll nun [mm]rot(\gamma[/mm] [mm]grad[/mm]
> > > [mm]\gamma).[/mm] Es soll die Frage geklärt werden, ob es sich bei
> > > [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt, und wenn
> > > ja, welcher Funktion.
> > >
> > > Wir hatten gefunden:
> > >
> > > rot [mm](\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z + \gamma\gamma_{yz} - \gamma_z\gamma_y - \gamma\gamma_{zy} \\ \gamma_z\gamma_x + \gamma\gamma_{zx} - \gamma_x\gamma_z - \gamma\gamma_{xz} \\ \gamma_x\gamma_y + \gamma\gamma_{xy} - \gamma_y\gamma_x - \gamma\gamma_{yx}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und durch den Satz von Schwarz gilt:
> > > [mm]\gamma\gamma_{yz}=\gamma\gamma_{zy}[/mm]
> > > [mm]\gamma\gamma_{zx}=\gamma\gamma_{xz}[/mm]
> > > [mm]\gamma\gamma_{xy}=\gamma\gamma_{yx}[/mm]
> > >
> > > Und somit steht dort nur noch:
> > >
> > > rot [mm](\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y\\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z\\ \gamma_x\gamma_y - \gamma_y\gamma_x}[/mm]
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> > > nun soll eine Entscheidung darüber treffen, ob es sich bei
> > > [mm]\gamma[/mm] grad [mm]\gamma[/mm] um ein Gradientenfeld handelt. Hierfür
> > > muss ja gelten, dass [mm]rot(\gamma[/mm] grad [mm]\gamma)=\vec{0}[/mm]
> >
> > wir haben ja schon festgestellt, dass das erfüllt ist
> > (siehe Beitrag von Leopold_Gast). Ist Dir klar, warum das
> > so ist?
>
> Es muss die Wirbelfreiheit gelten, da es sich ansonsten um
> ein Vektorfeld handelt...
Nein! Wenn die Rotation verschwindet (wirbelfrei), dann handelt es sich um ein Gradientenfeld. Ein Gradientenfeld ist ein Spezialfall eines Vektorfeldes, also ist jedes Gradientenfeld ein Vektorfeld - umgekehrt aber nicht.
Du hast folgendes ausgerechnet:
[mm] $\mathrm{rot} (\gamma \mathrm{grad} \gamma)=\vektor{\gamma_y\gamma_z - \gamma_z\gamma_y \\ \gamma_z\gamma_x - \gamma_x\gamma_z \\ \gamma_x\gamma_y- \gamma_y\gamma_x } [/mm] $
wähle nun z.B. [mm] $a:=\gamma_y$ [/mm] und [mm] $b:=\gamma_z$, [/mm] dann steht in der ersten Komponente $ab-ba=0$ analog für die anderen Komponenten. Deshalb verschwindet die Rotation!
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> >
> > >
> > > Hierfür soll ich wiederum eine Funktion finden, für die
> > > das erfüllt wird.
> > >
> > > Der Tipp war gewesen:
> > >
> > > Wie lautet eine Stammfunktion der Funktion h(x) = f(x)
> > > [mm]\cdot[/mm] f'(x)
> >
> > Auch diese Frage wurde schon beantwortet (siehe Beitrag von
> > fred97). Eine Stammfunktion von h(x) ist:
> > [mm]H(x)=\frac{1}{2}f^2(x)[/mm]. Wenn Dir das nicht einleuchtet,
> > mach es Dir durch Ableiten klar.
> >
> > Ich zitiere Leopold_Gast:
> > "Und für den letzten Teil der Aufgabe mußt du eine
> > Funktion [mm]g = g(x,y,z)[/mm] dreier Variablen finden mit
> >
> > [mm]g_x = \gamma \gamma_x \, , \ \ g_y = \gamma \gamma_y \, , \ \ g_z = \gamma \gamma_z [/mm]"
>
> Okay das leuchtet soweit ein... Aber nun kommt der Punkt
> den ich nicht verstehe. Ich habe doch bereits durch den
> Satz von Schwarz [mm]g_x = \gamma \gamma_x \, , \ \ g_y = \gamma \gamma_y \, , \ \ g_z = \gamma \gamma_z[/mm]
> eliminieren können.
> Wieso belebe ich sie nun bei der Suche nach einer Funktion
> wieder???
Du scheinst noch nicht wirklich verstanden zu haben, was Du da genau tust. Schau Dir nochmal genau an, wozu der Satz von Schwarz verwendest wurde.
Um der Lösung etwas näher zu kommen: Wir wissen nun, dass es sich bei [mm] $\gamma\mathrm{grad}\gamma$ [/mm] um ein Gradientenfeld handelt. Die Frage ist nun noch, welcher Funktion dieses Gradientenfeld entspricht. Allgemein gilt für ein Gradientenfeld: [mm] $\vec{v}=\mathrm{grad}\phi(x,y,z)$ [/mm] wobei [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] die in diesem Fall gesucht Funktion ist.
Versuche nun eine Funktion $g(x,y,z)$ zu finden für die gilt:
[mm] $\mathrm{grad}g(x,y,z)=\gamma(x,y,z) \mathrm{grad} \gamma(x,y,z)$
[/mm]
Das eindimensionale Analogon zu dieser Gleichung ist:
[mm] $g'(x)=f(x)\cdot [/mm] f'(x)$
Schau mal ob Du mit diesen Infos und dem was schon gesagt wurde eine Funktion $g(x)$ bestimmen kannst, die das erfüllt.
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> > Wenn Du jetzt [mm]g(x,y,z)=\frac{1}{2}\gamma^2(x,y,z)[/mm] wählst,
> > kannst Du ja mal überprüfen, ob diese Bedingungen
> > erfüllt sind.
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> > > So confused-^+^#^ö^-^#.
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> > > mfg thadod
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> > Gruß,
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> > notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
Okay zusammen mit dem, was wir bisher berechnet haben, erhalte ich:
Für ein Gradientenfeld gilt allgemein:
[mm] \vec{v}=grad [/mm] g(x,y,z)
wobei g(x,y,z) unsere gesuchte Funktion ist.
Es muss also gelten, dass
grad [mm] g(x,y,z)=\gamma(x,y,z) [/mm] grad [mm] \gamma(x,y,z)
[/mm]
Der eindimensionale Fall hierzu lautet:
g'(x)=f(x) [mm] \cdot [/mm] f'(x) und eine Stammfunktion hierzu ist [mm] g(x)=\bruch{1}{2}f(x)^2
[/mm]
Es ergibt sich somit für unseren Fall:
[mm] g(x,y,z)=\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)
[/mm]
und es muss nunmehr gelten:
grad [mm] \bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)=\gamma(x,y,z) [/mm] grad [mm] \gamma(x,y,z)
[/mm]
Es gilt für grad [mm] \bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\bruch{1}{2}\gamma^2}
[/mm]
Es gilt für [mm] \gamma(x,y,z) [/mm] grad [mm] \gamma(x,y,z)=\vektor{\gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial z}\gamma}
[/mm]
Was meines erachtens nach nicht gleich ist. Also kein Gradientenfeld...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 04.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Okay zusammen mit dem, was wir bisher berechnet haben,
> erhalte ich:
>
> Für ein Gradientenfeld gilt allgemein:
> [mm]\vec{v}=grad[/mm] g(x,y,z)
> wobei g(x,y,z) unsere gesuchte Funktion ist.
>
> Es muss also gelten, dass
> grad [mm]g(x,y,z)=\gamma(x,y,z)[/mm] grad [mm]\gamma(x,y,z)[/mm]
>
> Der eindimensionale Fall hierzu lautet:
> g'(x)=f(x) [mm]\cdot[/mm] f'(x) und eine Stammfunktion hierzu ist
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}f(x)^2[/mm]
>
> Es ergibt sich somit für unseren Fall:
> [mm]g(x,y,z)=\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)[/mm]
Genau.
>
> und es muss nunmehr gelten:
> grad [mm]\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)=\gamma(x,y,z)[/mm] grad
> [mm]\gamma(x,y,z)[/mm]
Richtig, und das gilt auch weil wir doch g(x,y,z) eben genau so bestimmt hat, dass diese Gleichung erfüllt ist.
>
> Es gilt für grad
> [mm]\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\bruch{1}{2}\gamma^2}[/mm]
Ja, dann rechne es doch mal aus!
>
> Es gilt für [mm]\gamma(x,y,z)[/mm] grad
> [mm]\gamma(x,y,z)=\vektor{\gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial z}\gamma}[/mm]
Dass das gilt wissen wir ja im Prinzip schon, das ist jetzt noch durch obige Rechnung zu bestätigen.
>
> Was meines erachtens nach nicht gleich ist. Also kein
> Gradientenfeld...
Doch! Was bedeutet Gradientenfeld?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 04.01.2012 | | Autor: | thadod |
> > Okay zusammen mit dem, was wir bisher berechnet haben,
> > erhalte ich:
> >
> > Für ein Gradientenfeld gilt allgemein:
> > [mm]\vec{v}=grad[/mm] g(x,y,z)
> > wobei g(x,y,z) unsere gesuchte Funktion ist.
> >
> > Es muss also gelten, dass
> > grad [mm]g(x,y,z)=\gamma(x,y,z)[/mm] grad [mm]\gamma(x,y,z)[/mm]
> >
> > Der eindimensionale Fall hierzu lautet:
> > g'(x)=f(x) [mm]\cdot[/mm] f'(x) und eine Stammfunktion hierzu
> ist
> > [mm]g(x)=\bruch{1}{2}f(x)^2[/mm]
> >
> > Es ergibt sich somit für unseren Fall:
> > [mm]g(x,y,z)=\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)[/mm]
>
> Genau.
>
> >
> > und es muss nunmehr gelten:
> > grad [mm]\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)=\gamma(x,y,z)[/mm] grad
> > [mm]\gamma(x,y,z)[/mm]
>
> Richtig, und das gilt auch weil wir doch g(x,y,z) eben
> genau so bestimmt hat, dass diese Gleichung erfüllt ist.
>
> >
> > Es gilt für grad
> >
> [mm]\bruch{1}{2}\gamma^2(x,y,z)=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\bruch{1}{2}\gamma^2}[/mm]
>
> Ja, dann rechne es doch mal aus!
[mm] \vektor{\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial y}\bruch{1}{2}\gamma^2 \\ \bruch{\partial}{\partial z}\bruch{1}{2}\gamma^2}=\vektor{\gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial z}\gamma}
[/mm]
>
> >
> > Es gilt für [mm]\gamma(x,y,z)[/mm] grad
> > [mm]\gamma(x,y,z)=\vektor{\gamma\bruch{\partial}{\partial x}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial y}\gamma \\ \gamma\bruch{\partial}{\partial z}\gamma}[/mm]
>
> Dass das gilt wissen wir ja im Prinzip schon, das ist jetzt
> noch durch obige Rechnung zu bestätigen.
>
> >
> > Was meines erachtens nach nicht gleich ist. Also kein
> > Gradientenfeld...
>
> Doch! Was bedeutet Gradientenfeld?
Gradientenfeld bedeutet Gradient eines Skalarfeldes bzw. erhält man durch Differentiation eines Skalarfeldes ein nach dem Ort abgeleitetes Vektorfeld
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 04.01.2012 | | Autor: | notinX |
Wenn die Rotation des Feldes verschwindet handelt es sich um ein Gradientenfeld, weil es sich dann als Gradient einer skalaren Funktion schreiben lässt.
Das ist erfüllt, denn die Rotation verschwindet bei dieser Aufgabe. An dieser Aussage gibt es auch nichts zu rütteln!
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Irgendwie scheint mir, als ob immer noch nicht klar ist, daß [mm]\operatorname{rot} \left( \gamma \cdot \operatorname{grad} \gamma \right) = 0[/mm] ist. thadod scheint mir da blockiert zu sein. In der ersten Koordinate hat er zuletzt richtig berechnet
[mm]\gamma_y \gamma_z - \gamma_z \gamma_y[/mm]
Und jetzt macht er nicht weiter, sondern redet irgendetwas von "Entscheidung darüber treffen", ob das 0 ist. Dabei ist doch klar - und jetzt sage ich es ausdrücklich:
DAS IST NULL!
In einem Produkt darf man die Faktoren vertauschen ("19 mal 108" ist dasselbe wie "108 mal 19"). Also sind die Produkte [mm]\gamma_y \gamma_z[/mm] und [mm]\gamma_z \gamma_y[/mm] gleich! Und somit ist ihre Differenz NULL! N U L L !
Und in den anderen Koordinaten geht das entsprechend. Also gilt:
[mm]\operatorname{rot} \left( \gamma \cdot \operatorname{grad} \gamma \right) = 0[/mm]
Und da ist auch keine Entscheidung mehr zu treffen. DIE ENTSCHEIDUNG IST BEREITS GEFALLEN! Das ist N U L L !
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