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Hallo Matheraum und vielen Dank für deine Tolle Begleitung durch das Studium :)
Ich habe leider (mal wieder) ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Es seien [mm] u:\IR^3 \to \IR,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^+2y^2+z^2}
[/mm]
und
[mm] \vec{v}:\IR^3 \backslash \{\vec{0}\} \to \IR^3, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \bruch{1}{u(x,y,z)} \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Es gibt nun 2 Aufgabenstellungen.
1. Aufgabenstellung:
grad u und div [mm] \vec{v} [/mm] berechnen
2. Aufgabenstellung:
Abbildungen u und [mm] \vec{v} [/mm] in Kugelkoordinaten angeben und mit Hilfe der Formeln für Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten erneut grad u und div [mm] \vec{v} [/mm] berechnen. Anschließend 1. Aufgabenstellung und 2. Aufgabenstellung verlgeichen.
Ich wollte nun zunächst zur 1. Aufgabenstellung kommen.
Es ergibt sich für grad [mm] u=\vektor{\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}}}
[/mm]
Nun wollte ich div [mm] \vec{v} [/mm] berechnen. Hierzu habe ich folgende Frage:
Durch [mm] u:\IR^3 \to \IR [/mm] wird ja meiner Meinung ein skalares Feld beschrieben. Darf ich nun auch schreiben [mm] u(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] ?
Es würde sich ja somit ergeben:
[mm] \bruch{1}{u(x,y,z)} \vektor{x \\ y \\ z}=\bruch{1}{\wurzel(x^2+y^2+z^2)} \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \\ \bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}}
[/mm]
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo Matheraum und vielen Dank für deine Tolle Begleitung
> durch das Studium :)
>
> Ich habe leider (mal wieder) ein kleines Problem mit
> folgender Aufgabe:
>
> Es seien [mm]u:\IR^3 \to \IR,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\vec{v}:\IR^3 \backslash \{\vec{0}\} \to \IR^3, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \bruch{1}{u(x,y,z)} \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Es gibt nun 2 Aufgabenstellungen.
>
> 1. Aufgabenstellung:
>
> grad u und div [mm]\vec{v}[/mm] berechnen
>
> 2. Aufgabenstellung:
>
> Abbildungen u und [mm]\vec{v}[/mm] in Kugelkoordinaten angeben und
> mit Hilfe der Formeln für Differentialoperatoren in
> Kugelkoordinaten erneut grad u und div [mm]\vec{v}[/mm] berechnen.
> Anschließend 1. Aufgabenstellung und 2. Aufgabenstellung
> verlgeichen.
>
> Ich wollte nun zunächst zur 1. Aufgabenstellung kommen.
>
> Es ergibt sich für grad
> [mm]u=\vektor{\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun wollte ich div [mm]\vec{v}[/mm] berechnen. Hierzu habe ich
> folgende Frage:
>
> Durch [mm]u:\IR^3 \to \IR[/mm] wird ja meiner Meinung ein skalares
> Feld beschrieben. Darf ich nun auch schreiben
> [mm]u(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm] ?
>
Ja.
> Es würde sich ja somit ergeben:
>
> [mm]\bruch{1}{u(x,y,z)} \vektor{x \\ y \\ z}=\bruch{1}{\wurzel(x^2+y^2+z^2)} \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \\ \bruch{z}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}}[/mm]
>
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower und thanks for your helpy
Habe nun eine Lösung für die Komplette Aufgabe und würde sie ganz gerne der Vollständigkeit halber hochladen.
Es seien [mm] u:\IR^3 \to \IR,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] und [mm] \vec{v}:\IR^3 \backslash \{\vec{0}\} \to \IR^3, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \bruch{1}{u(x,y,z)} \vektor{x \\ y \\ z}, [/mm] wobei wir ja nun schon geklärt hatten, dass [mm] u(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
1. Aufgabenstellung:
grad u und div [mm] \vec{v} [/mm] in kartesischen Koordinaten
2. Aufgabenstellung:
Abbildungen u und [mm] \vec{v} [/mm] in Kugelkoordinaten und anschließend mit 1. Aufgabenstellung vergleichen.
Ich komme zunächst zur 1. Aufgabe:
grad [mm] u=\vektor{\bruch{\partial u}{\partial x} \\ \bruch{\partial u}{\partial y} \\ \bruch{\partial u}{\partial z}}=\vektor{\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}}}=\bruch{1}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{1}{2}}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Und da [mm] u(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2}=(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] ergibt sich somit ja auch [mm] \vec{v}=\bruch{1}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{1}{2}}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Somit gilt:
grad [mm] u=\vec{v} [/mm] und somit gilt div [mm] \vec{v}=div [/mm] (grad u)
Somit haben wir: div (grad [mm] u)=\bruch{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}
[/mm]
Kommen wir zur 2. Aufgabenstellung:
in Kugelkoordinaten gilt:
[mm] x=rsin\theta cos\phi
[/mm]
[mm] y=rsin\theta sin\phi
[/mm]
[mm] z=rcos\theta
[/mm]
Es sei nun:
[mm] U(r,\theta,\phi)=r
[/mm]
Somit ergibt sich für grad [mm] U=\bruch{\partial U}{\partial r}\vec{e_r}+\bruch{1}{r}\bruch{\partial U}{\partial \theta}\vec{e_\theta}+\bruch{1}{r sin\theta}\bruch{\partial U}{\partial \phi}\vec{e_\phi}=\bruch{\partial U}{\partial r}\vec{e_r}+0+0=1\vec{e_r}
[/mm]
Ein Vergleich liefert:
grad [mm] u(x,y,z)=\bruch{1}{(r)^\bruch{1}{2}}\vektor{r sin\theta cos\phi \\ r sin\theta sin\phi \\ r cos\theta}=\bruch{r}{(r)^\bruch{1}{2}}\vektor{sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta}=\bruch{r}{(r)^\bruch{1}{2}}\vec{e_r}
[/mm]
Funktioniert das dann überhaupt??? Denn es muss doch eigentlich [mm] 1\vec{e_r} [/mm] herauskommen oder?
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo Mathepower und thanks for your helpy
>
> Habe nun eine Lösung für die Komplette Aufgabe und würde
> sie ganz gerne der Vollständigkeit halber hochladen.
>
> Es seien [mm]u:\IR^3 \to \IR,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> und [mm]\vec{v}:\IR^3 \backslash \{\vec{0}\} \to \IR^3, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \bruch{1}{u(x,y,z)} \vektor{x \\ y \\ z},[/mm]
> wobei wir ja nun schon geklärt hatten, dass
> [mm]u(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> 1. Aufgabenstellung:
>
> grad u und div [mm]\vec{v}[/mm] in kartesischen Koordinaten
>
> 2. Aufgabenstellung:
>
> Abbildungen u und [mm]\vec{v}[/mm] in Kugelkoordinaten und
> anschließend mit 1. Aufgabenstellung vergleichen.
>
> Ich komme zunächst zur 1. Aufgabe:
>
> grad [mm]u=\vektor{\bruch{\partial u}{\partial x} \\ \bruch{\partial u}{\partial y} \\ \bruch{\partial u}{\partial z}}=\vektor{\bruch{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}} \\ \bruch{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}}}=\bruch{1}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{1}{2}}\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Und da
> [mm]u(x,y,z)=\wurzel{x^2+y^2+z^2}=(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> ergibt sich somit ja auch
> [mm]\vec{v}=\bruch{1}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{1}{2}}\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Somit gilt:
>
> grad [mm]u=\vec{v}[/mm] und somit gilt div [mm]\vec{v}=div[/mm] (grad u)
>
> Somit haben wir: div (grad
> [mm]u)=\bruch{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}[/mm]
>
Das kann man noch zusammenfassen.
>
> Kommen wir zur 2. Aufgabenstellung:
>
> in Kugelkoordinaten gilt:
>
> [mm]x=rsin\theta cos\phi[/mm]
> [mm]y=rsin\theta sin\phi[/mm]
> [mm]z=rcos\theta[/mm]
>
>
> Es sei nun:
>
> [mm]U(r,\theta,\phi)=r[/mm]
>
> Somit ergibt sich für grad [mm]U=\bruch{\partial U}{\partial r}\vec{e_r}+\bruch{1}{r}\bruch{\partial U}{\partial \theta}\vec{e_\theta}+\bruch{1}{r sin\theta}\bruch{\partial U}{\partial \phi}\vec{e_\phi}=\bruch{\partial U}{\partial r}\vec{e_r}+0+0=1\vec{e_r}[/mm]
>
> Ein Vergleich liefert:
>
> grad [mm]u(x,y,z)=\bruch{1}{(r)^\bruch{1}{2}}\vektor{r sin\theta cos\phi \\ r sin\theta sin\phi \\ r cos\theta}=\bruch{r}{(r)^\bruch{1}{2}}\vektor{sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta}=\bruch{r}{(r)^\bruch{1}{2}}\vec{e_r}[/mm]
>
Es ist doch [mm]r=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm]
Daher muss hier stehen:
[mm]\operatorname{grad} \ u(x,y,z)=\bruch{1}{\blue{r}}\vektor{r sin\theta cos\phi \\ r sin\theta sin\phi \\ r cos\theta}=\bruch{r}{\blue{r}}\vektor{sin\theta cos\phi \\ sin\theta sin\phi \\ cos\theta}=\bruch{r}{\blue{r}}\vec{e_r}=\vec{e_r}[/mm]
> Funktioniert das dann überhaupt??? Denn es muss doch
> eigentlich [mm]1\vec{e_r}[/mm] herauskommen oder?
>
> mfg dodo4ever
Grus
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mo 09.01.2012 | | Autor: | dodo4ever |
Oh ich Schüssel hab's in u(x,y,z) eingesetzt nicht in grad u(x,y,z) ...
Danke dir
MfG dodo4ever
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Hallo Matheraum.
Ich bhabe gerade nochmal deinen Beitrag gelesen und du schreibst, ich könnte [mm] \bruch{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}} [/mm] noch weiter zusammenfassen.
Doch leider kann ich leider noch nicht so ganz nachvollziehen, was genau ich da noch zusammenfassen kann. Außer das ich eventuell [mm] (x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}} [/mm] ausschreiben könnte.
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Bruchrechnen:
$ [mm] \bruch{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}+\bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}} [/mm] =2* [mm] \bruch{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}= \bruch{2}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{1}{2}}$
[/mm]
FRED
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