Differentialquotient ln < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mo 13.05.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Berechnen sie mit Hilfe des differentialquotienten die Ableitung
b) die natürliche Logarithmusfunktion an der Stelle x=1
c) die sinusfunktion an der Stelle x=Pi/2 |
Moin,
Kann mir bitte jemand einen großen Tipp geben, wie ich bei b) Vorgehen soll? Schaff es nicht den differentialquotienten so umzuformen, das am Ende die Ableitung rauskommt :(
Gruß MatheAnfänher
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mo 13.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}
[/mm]
Logarithmengesetz
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}
[/mm]
Doppelbruch lösen
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)
[/mm]
Nochmal Bruchrechnung
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\ln\left(\frac{x}{x}+\frac{h}{x}\right)
[/mm]
Bruch kürzen und Logarithmengesetz
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)
[/mm]
Nun den hinteren Bruch zum Doppelbruch verwandeln
[mm] =\lim\limits_{h\to0}\ln\left(\left(1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}}\right)^{\frac{1}{h}}\right)
[/mm]
Wenn [mm] h\to0 [/mm] läuft [mm] \frac{1}{h}\to\infty, [/mm] also kannst du den Grenzwert "verändern", also basteln wir uns die Variable [mm] n=\frac{1}{h} [/mm] und lassen dann [mm] n\to\infty [/mm] laufen, dann wird aus
[mm] \lim\limits_{h\to0}\ln\left(\left(1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}}\right)^{\frac{1}{h}}\right)
[/mm]
die neue Form
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\ln\left(\left((1+\frac{\frac{1}{x}}{n}\right)^{n}\right)
[/mm]
Da der ln streng monoton ist, darfst du den ln und die Grenzwertbeildung vertauschen
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{\frac{1}{x}}{n}\right)^{n}\right)
[/mm]
[mm] =\ln\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac{1}{x}}{n}\right)^{n}\right)
[/mm]
Nun solltest du den Grenzwert von
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^a [/mm] kennen, das hilft hier ungemein.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Mo 13.05.2013 | | Autor: | DragoNru |
wow, vielen dank. wir sitzten hier schon übe einer halben std. an dieser aufgabe :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mo 13.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> wow, vielen dank. wir sitzten hier schon übe einer halben
> std. an dieser aufgabe :P
Dann solltet ihr die letzten paar Schritte ja in maximal fünf Minuten erledigen können.
Marius
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