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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:43 Mi 27.10.2010 | | Autor: | marco-san |
| Aufgabe | Folgende Gleichung ist gegeben (Muskelkontraktionsgleichung von Hill)
[mm] v=a*\bruch{V0*(F0-F)}{(F+a)F0}, [/mm] v ist die Geschwindigkeit, F ist die Kraft, a, V0 und F0 sind Parameter.
Die Leistung [mm] P=Fv=a*\bruch{V0*F(F0-F)}{(F+a)F0}
[/mm]
Für a=1, V0=3 F0=5
a) Bestimmen Sie die Kraft die zur maximalen Leistung führt. Dabei nehmen Sie an [mm] F\ge0 [/mm] , V [mm] \ge
[/mm]
b) Berechnen Sie die maximale Leistung
c) Wie schnell kontrahier der Muskel bei maximaler Leistung? |
Hallo zusammen.
Ich hatte bereits einiges an Kurvendiskussionen. Ich weiss hier aber wirklich nicht wie vorgehen. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Um die maximale Kraft F zu bekommen schätze ich müsste man die erste Gleichung ableiten und y'=0 setzen. Ist es dann nicht die max Geschwindigkeit die rauskommt?
Ich weiss auch bei b und c nicht weiter...
Bitte um eure Hilfe.
Danke
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Hallo marco-san,
> Folgende Gleichung ist gegeben (Muskelkontraktionsgleichung
> von Hill)
>
> [mm]v=a*\bruch{V0*(F0-F)}{(F+a)F0},[/mm] v ist die Geschwindigkeit,
> F ist die Kraft, a, V0 und F0 sind Parameter.
>
> Die Leistung [mm]P=Fv=a*\bruch{V0*F(F0-F)}{(F+a)F0}[/mm]
> Für a=1, V0=3 F0=5
>
> a) Bestimmen Sie die Kraft die zur maximalen Leistung
> führt. Dabei nehmen Sie an [mm]F\ge0[/mm] , V [mm]\ge[/mm]
>
> b) Berechnen Sie die maximale Leistung
>
> c) Wie schnell kontrahier der Muskel bei maximaler
> Leistung?
> Hallo zusammen.
> Ich hatte bereits einiges an Kurvendiskussionen. Ich weiss
> hier aber wirklich nicht wie vorgehen. Kann mir jemand
> einen Tipp geben?
>
> Um die maximale Kraft F zu bekommen schätze ich müsste
> man die erste Gleichung ableiten und y'=0 setzen. Ist es
> dann nicht die max Geschwindigkeit die rauskommt?
Das ist nur die maximale Geschwindigkeit,
wenn das Maximum von
[mm]a*\bruch{V0*(F0-F)}{(F+a)F0}[/mm]
bestimmt wird.
Hier muss Du aber das Maximum von
[mm]a*\bruch{V0*F(F0-F)}{(F+a)F0}[/mm]
bestimmen
>
> Ich weiss auch bei b und c nicht weiter...
>
Bei b) rechnest Du die zugehörige Leistung aus.
Schliesslich rechnest Du bei c) die zugehörige Geschwindigkeit aus.
> Bitte um eure Hilfe.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine Antwort.
Ist in dem Fall die erste Formel für die Geschwindigkeit nicht relevant (ausser für Aufgabe c)?
Ich habe die Gleichung differenziert und komme auf:
[mm] y'=\bruch{d}{dF}=\bruch{-v*a(F^2+2F*a-a*F0)}{((F+a)^2*F0)}
[/mm]
Jetzt setze ich y'=0 und erhalte [mm] F=-\wurzel{a}*\wurzel{a*F0} [/mm] oder [mm] F=\wurzel{a}*\wurzel{a*F0} [/mm] oder [mm] \bruch{a*v}{F0}=0
[/mm]
Stimmt das bis hier hin? Wie muss ich weiter machen?
Setze ich die Werte in die Gleichung der Geschwindigkeit ein?
Ich habe wirklich keine Ahnung....
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Hallo marco-san,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
> Ist in dem Fall die erste Formel für die Geschwindigkeit
> nicht relevant (ausser für Aufgabe c)?
So ist es.
>
> Ich habe die Gleichung differenziert und komme auf:
>
> [mm]y'=\bruch{d}{dF}=\bruch{-v*a(F^2+2F*a-a*F0)}{((F+a)^2*F0)}[/mm]
Hier muss statt v ein V0 stehen:
[mm]y'=\bruch{d}{dF}=\bruch{-\blue{V0}*a(F^2+2F*a-a*F0)}{((F+a)^2*F0)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt setze ich y'=0 und erhalte
> [mm]F=-\wurzel{a}*\wurzel{a*F0}[/mm] oder [mm]F=\wurzel{a}*\wurzel{a*F0}[/mm]
> oder [mm]\bruch{a*v}{F0}=0[/mm]
>
> Stimmt das bis hier hin? Wie muss ich weiter machen?
Die Lösungen der Gleichung
[mm]F^2+2F*a-a*F0=0[/mm]
stimmen nicht.
>
> Setze ich die Werte in die Gleichung der Geschwindigkeit
> ein?
Zunächst solltest Du überprüfen, für welches F, das aus der Gleichung
[mm]F^2+2F*a-a*F0=0[/mm]
resultiert, ein Maximum erreicht wird.
Dann setzt Du dieses F in P ein und bestimmst so die maximale Leistung.
Dasselbe F setzt Du in v ein und bestimmst so die zugehörige Geschwindigkeit,#.
> Ich habe wirklich keine Ahnung....
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
vielen Dank für die Antwort.
Die Gleichung [mm] F^2+2F\cdot{}a-a\cdot{}F0=0
[/mm]
ergibt nach neuer Berechnung folgende Resultate:
F1, [mm] \wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a
[/mm]
F2, [mm] -\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a
[/mm]
Um das Maximum herauszufinden muss die zweite ableitung her.
Diese ist.
[mm] F''=\bruch{-2*a^2*(a+F0)*v}{(F+a)^3*F0}
[/mm]
Ist die Bedingung y'(x0)=0 und [mm] y''(x0)\not=0, [/mm] dann kommt es auf den Wert an ob ein Max oder ein Min vorliegt.
Ich bin so vorgegangen, dass ich die Werte die ich bei Auflösund der Gleichung von y'=0 erhalten habe, diese in die Gleichung y''=0 für F eingesetzt habe.
Ich bekam folgende Resultate:
für [mm] y''(F=\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a)=\bruch{-2*\wurzel{a}*v0}{\wurzel{(a+F0)*F0}}
[/mm]
und für [mm] y''(F=-\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a)=\bruch{2*\wurzel{a}*v0}{\wurzel{(a+F0)*F0}}
[/mm]
Wenn ich jetzt die vorgegebenen Parameter a, F0 und v0 einsetze erhalte ich für die erste Gleichung:
-0.489897...
Für die zweite Gleichung
0.489897
Das Maximum muss also beim Wert der ersten Gleichung liegen.
Stimmt das so überhaupt? Soll ich jetzt mit den Werten weiterrechnen oder mit den Variablen?
Danke für eure Hilfe. Dank auch an Mathepower für die gute Unterstützung!
Grüsse
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Hallo marco-san,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für die Antwort.
>
> Die Gleichung [mm]F^2+2F\cdot{}a-a\cdot{}F0=0[/mm]
> ergibt nach neuer Berechnung folgende Resultate:
>
> F1, [mm]\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a[/mm]
> F2, [mm]-\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a[/mm]
>
> Um das Maximum herauszufinden muss die zweite ableitung
> her.
> Diese ist.
>
> [mm]F''=\bruch{-2*a^2*(a+F0)*v}{(F+a)^3*F0}[/mm]
>
> Ist die Bedingung y'(x0)=0 und [mm]y''(x0)\not=0,[/mm] dann kommt es
> auf den Wert an ob ein Max oder ein Min vorliegt.
>
> Ich bin so vorgegangen, dass ich die Werte die ich bei
> Auflösund der Gleichung von y'=0 erhalten habe, diese in
> die Gleichung y''=0 für F eingesetzt habe.
>
> Ich bekam folgende Resultate:
>
> für
> [mm]y''(F=\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a)=\bruch{-2*\wurzel{a}*v0}{\wurzel{(a+F0)*F0}}[/mm]
>
> und für
> [mm]y''(F=-\wurzel{a}*\wurzel{a+F0}-a)=\bruch{2*\wurzel{a}*v0}{\wurzel{(a+F0)*F0}}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die vorgegebenen Parameter a, F0 und v0
> einsetze erhalte ich für die erste Gleichung:
> -0.489897...
> Für die zweite Gleichung
> 0.489897
>
> Das Maximum muss also beim Wert der ersten Gleichung
> liegen.
>
> Stimmt das so überhaupt? Soll ich jetzt mit den Werten
> weiterrechnen oder mit den Variablen?
Ja, das stimmt so.
Für den weiteren Fortgang der Rechnung
rechne mit den Variablen weiter.
>
> Danke für eure Hilfe. Dank auch an Mathepower für die
> gute Unterstützung!
>
> Grüsse
Gruss
MathePower
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Hallo zusammen,
ich melde mich nochmals. Ich bin mir nicht ganz sicher ob es richtig war nach F zu differenzieren um die maximale Kraft F zu erhalten?
Kann mir das jemand bestätigen?
Dann habe ich nochmals eine Frage. Kann ich nicht von Beginn an die Konstanten einsetzen? So würde die Rechnung um ein vielfaches einfacher.
Vielen Dank für Eure Hilfe...
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Hallo marco-san,
> Hallo zusammen,
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> ich melde mich nochmals. Ich bin mir nicht ganz sicher ob
> es richtig war nach F zu differenzieren um die maximale
> Kraft F zu erhalten?
>
> Kann mir das jemand bestätigen?
Die Diffentiation nach F war schon richtig.
Hier erhältst Du die Kraft F, die zur maximalen Leistung führt.
>
> Dann habe ich nochmals eine Frage. Kann ich nicht von
> Beginn an die Konstanten einsetzen? So würde die Rechnung
> um ein vielfaches einfacher.
Das kannst Du machen.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe...
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke, dass Du immer so schnell da bist wenn es ein Problem gibt 
Ich habe folgendes bekommen
a) F=1,4494
b) Pmax=1,2606
c) v=0,8696
Kann mir das jemand bestätigen?
Vielen Dank und ein schönes Weekend der Matheraum-Gemeinde
Marco
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Hallo marco-san,
> Hallo Mathepower,
>
> danke, dass Du immer so schnell da bist wenn es ein Problem
> gibt
>
> Ich habe folgendes bekommen
>
> a) F=1,4494
>
>
> b) Pmax=1,2606
>
> c) v=0,8696
>
>
> Kann mir das jemand bestätigen?
Alles richtig.
>
> Vielen Dank und ein schönes Weekend der
> Matheraum-Gemeinde
>
>
> Marco
Gruss
MathePower
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