Differentialrechnung (Ablei.) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo erstmal zusammen,
ich habe ein Problem bei eiener Aufgabe und hoffe ihr könnt mir dabei Helfen.
Gegeben ist die Funktion:
f(x) = Ln [mm] \wurzel{1-x}
[/mm]
Gesucht ist die Ableitung der Funktion (Für die Ableitung ist die Produkt- oder die Kettenregel anzuwenden)
Bitte Helft mir, ich weiß nicht wie ich die Aufgabe angehen soll
danke schonmal im vorraus
gruss mrocean
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo erstmal zusammen,
>
> ich habe ein Problem bei eiener Aufgabe und hoffe ihr könnt
> mir dabei Helfen.
>
> Gegeben ist die Funktion:
>
> f(x) = Ln [mm]\wurzel{1-x}
[/mm]
also, es handelt sich ja um eine verkettete Funktion, du brauchst
die Ableitung von ln x
die Ableitung von [mm] \wurzel{x}
[/mm]
und die Ableitung von 1-x
und diese drei Ableitungen musst du miteinander multiplizieren
fangen wir also mit dem ln an:
Ableitung von [mm] ln(\wurzel{1-x})= \bruch{1}{\wurzel{1-x}}, [/mm] Kettenregel mal missachtet
hab die obige Zeile korrigiert, da war eine Wurzel verloren gegangen
Ableitung von [mm] \wurzel{1-x}=\bruch{1}{2*\wurzel{1-x}}
[/mm]
Ableitung von 1-x: -1
so dass wir nun insgesamt, unter Beachtung der kettenregel, auf folgende Lösung kommen:
[mm] f(x)=ln({\wurzel{1-x}})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x}}*\bruch{1}{2*\wurzel{1-x}}*(-1)=-\bruch{1}{2*(1-x)}
[/mm]
> Gesucht ist die Ableitung der Funktion (Für die Ableitung
> ist die Produkt- oder die Kettenregel anzuwenden)
>
> Bitte Helft mir, ich weiß nicht wie ich die Aufgabe angehen
> soll
>
> danke schonmal im vorraus
>
> gruss mrocean
>
>
> * Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
OLIVER
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 06.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo mrocean!
[mm]f(x) = \ln \wurzel{1-x}[/mm]
>
> Gesucht ist die Ableitung der Funktion (Für die Ableitung
> ist die Produkt- oder die Kettenregel anzuwenden)
1.) Oliver hat dir die Ableitung vorgerechnet (mit "kleinen Schnitzern", aber dafür hat er ja auch "Lösungsansatz" geschrieben).
2.) Damit ist die Frage als beantwortet anzusehen! Wenn du die Antwort von Oliver nicht nachvollziehen kannst, dann frage bitte innerhalb dieses Threads nach, anstatt deine Frage wieder auf statuslos zu setzen.
Vielleicht mal, wenn du Olivers Lösung nicht verstehst, der erste Schritt, wie man an die Aufgabe "schrittweise" rangeht/rangehen kann:
[m]f(x)=\ln\wurzel{1-x}[/m].
1. Schritt:
Setze [mm] $g(x):=\ln(x)$ [/mm] und [mm] $h(x):=\wurzel{1-x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
es gilt: [m]f(x)=g(h(x))[/m], also kann man zum ableiten die  Kettenregel anwenden...
.
.
.
Und um nochmal Olivers Methode zu verdeutlichen:
Er hat die sich aus der Kettenregel ergebende "erweiterte Regel":
[m]f(x)=u(v(w(x)))[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]f'(x)=u'(v(w(x)))*[v(w(x))]'=u'(v(w(x)))*v'(w(x))*w'(x)[/m] benutzt, wobei:
[mm] $u(x)=\ln(x)$, $v(x)=\wurzel{x}$ [/mm] und $w(x)=1-x$ waren...
3.) Alternativ kannst du deine Aufgabe auch mit der Kettenregel so lösen:
i) Zunächst eine kleine Umformung:
Es gilt [mm] $f(x)=\ln(\wurzel{1-x})=\frac{1}{2}*\ln(1-x)$.
[/mm]
ii) Setze [mm] $g(x):=\frac{1}{2}*\ln(x)$ [/mm] und $h(x):=1-x$.
Dann gilt (da $f(x)=g(h(x))$) mit der Kettenregel:
[m]f'(x)=g'(h(x))*h'(x)[/m], und da [m]g'(x)=\frac{1}{2x}[/m] ist, ist [m]g'(h(x))=\frac{1}{2h(x)}=\frac{1}{2(1-x)}[/m] und du siehst sofort, dass $h'(x)=-1$ gilt, also:
[m]f'(x)=\frac{1}{2(1-x)}*(-1)=-\,\frac{1}{2(1-x)}[/m]
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
|
