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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:05 Fr 02.01.2015 | | Autor: | wiwi2k |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] $f(n)=na+(n^2-n)*b$. [/mm]
Die Variable a ist eine Konstante. Die Variablen n und b können verschiedene Werte annehmen.
Ermitteln Sie eine Funktion, die für jedes beliebige, gegebene n dasjenige b bestimmt, für das die Funktion beim gegebenem n ein Maximum erreicht. |
Hallo zusammen,
hier ein Problem, an dem ich nun schon an die 5 Stunden sitze und einfach nicht drauf komme.
Also, zunächst war mein Lösungsansatz recht einfach:
1. f(n) nach n ableiten ergibt: [mm] $\frac{\partial f(n)}{\partial n} [/mm] = a + (2n-1)b.$
2. Die Nullstelle der Gleichung ergibt das Maximum für n: [mm] $n^*=\frac{b-a}{2b}$
[/mm]
3. Nun die Ableitung einfach nach b umstellen (hätte man auch schon nach Punkt 1 machen können): [mm] $b^*=\frac{-a}{2n-1}$
[/mm]
[mm] $b^*=\frac{-a}{2n-1}$ [/mm] wäre also aus meiner Sicht die Lösung.
Nach meinen Verständnis sollte ich mit diesem Ausdruck dasjenige b erhalten, das erforderlich ist, damit [mm] $f(x)=na+(n^2-n)*b$ [/mm] für ein bestimmtes, gegebenes n ein Maximum hat.
Leider scheint das aber irgendwie nicht zu funktionieren. Zur Kontrolle habe ich die Ursprungsfunktion [mm] $f(n)=na+(n^2-n)*b$ [/mm] von b=-5 bis b = 5 geplottet (a habe ich gleich 9 gesetzt, n = 5).
Per Formel komme ich auf ein erforderliches b von exakt -1. Mit dem Maximum im Plot hat das aber nichts zu tun. Daraufhin habe ich händisch geprüft:
[mm] $f(n)=na+(n^2-n)*b$ [/mm]
Einsetzen (n=5, a = 10, b = -,999):174.875
Einsetzen (n=5, a = 10, b = -,1,001): 175,125
Damit habe ich mit b = -1 also kein Maximum für das gegebene n von 5.
Ich dann noch mit einigen anderen Werten für n und a rumprobiert, aber auch da wollte es nicht klappen.
Ich verstehe es echt nicht und zweifle gerade an meinem Grundverständnis der Differentialrechnung.
Ein Tipp wäre mir schon eine große Hilfe. Ich weiß gerade echt nicht mehr weiter.
Viele (verzweifelte) Grüße,
Wiwi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 02.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=na+(n^2-n)*b[/mm].
> Die Variable a ist eine Konstante. Die Variablen n und b
> können verschiedene Werte annehmen.
>
> Ermitteln Sie eine Funktion, die für jedes beliebige,
> gegebene n dasjenige b bestimmt, für das die Funktion beim
> gegebenem n ein Maximum erreicht.
Hallo,
hier ist gar kein x drin. Du meinst sicher f(n)?
Wenn ja, dann ist das eine quadratische Funktion in n, aber da ist die Passage mit "bei gegebenem n" auch wieder sinnlos.
Bitte korrigiere den Aufgabentext.
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> Hallo zusammen,
>
> hier ein Problem, an dem ich nun schon an die 5 Stunden
> sitze und einfach nicht drauf komme.
>
> Also, zunächst war mein Lösungsansatz recht einfach:
>
> 1. f(x) nach n ableiten ergibt: [mm]\frac{\partial f(x)}{\partial n} = a + (2n-1)b.[/mm]
>
> 2. Die Nullstelle der Gleichung ergibt das Maximum für n:
> [mm]n^*=\frac{b-a}{2b}[/mm]
>
> 3. Nun die Ableitung einfach nach b umstellen (hätte man
> auch schon nach Punkt 1 machen können):
> [mm]b^*=\frac{-a}{2n-1}[/mm]
>
> [mm]b^*=\frac{-a}{2n-1}[/mm] wäre also aus meiner Sicht die
> Lösung.
> Nach meinen Verständnis sollte ich mit diesem Ausdruck
> dasjenige b erhalten, das erforderlich ist, damit
> [mm]f(x)=na+(n^2-n)*b[/mm] für ein bestimmtes, gegebenes n ein
> Maximum hat.
>
> Leider scheint das aber irgendwie nicht zu funktionieren.
> Zur Kontrolle habe ich die Ursprungsfunktion
> [mm]f(x)=na+(n^2-n)*b[/mm] von b=-5 bis b = 5 geplottet (a habe ich
> gleich 9 gesetzt, n = 5).
>
> Per Formel komme ich auf ein erforderliches b von exakt -1.
> Mit dem Maximum im Plot hat das aber nichts zu tun.
> Daraufhin habe ich händisch geprüft:
>
> [mm]f(x)=na+(n^2-n)*b[/mm]
>
> Einsetzen (n=5, a = 10, b = -,999):174.875
>
> Einsetzen (n=5, a = 10, b = -,1,001): 175,125
>
> Damit habe ich mit b = -1 also kein Maximum für das
> gegebene n von 5.
> Ich dann noch mit einigen anderen Werten für n und a
> rumprobiert, aber auch da wollte es nicht klappen.
>
> Ich verstehe es echt nicht und zweifle gerade an meinem
> Grundverständnis der Differentialrechnung.
>
> Ein Tipp wäre mir schon eine große Hilfe. Ich weiß
> gerade echt nicht mehr weiter.
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> Viele (verzweifelte) Grüße,
>
> Wiwi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Fr 02.01.2015 | | Autor: | wiwi2k |
Richtig. Pardon... habs nun korrigiert.
Zur Deiner Frage zur Aufgabenstellung:
Sagen wir mal n = 5, dann kann ich (bei gegebenem a) dort ein Maximum haben, wenn b einen bestimmten Wert hat.
Für jedes beliebige n soll das b bestimmt werden, mit dem es bei der Stelle n zu einem Maximum kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Fr 02.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Richtig. Pardon... habs nun korrigiert.
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Hallo,
durch Umformung erhalten wir
[mm] f(n)=na+(n^2-n)\cdot{}b =b\cdot n^2+(a-b)n=b\cdot n(n+\frac{a-b}{b})[/mm].
Die Funktion hat die beiden Nullstellen [mm] $n_1=0$ [/mm] und [mm]n_2=\frac{b-a}{b}[/mm] . Der Scheitelpunkt liegt genau dazwischen, und zwar bei [mm]n_S=\frac{b-a}{2b}=0,5- \frac{a}{2b}[/mm].
Umstellen nach b liefert [mm]b= \frac{a}{1-2n_S}[/mm]. Das funktioniert aber nur für negative b, denn für positive b ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt und bei Hochpunkt.
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> Gegeben ist die Funktion [mm]f(n)=na+(n^2-n)*b[/mm].
> Die Variable a ist eine Konstante. Die Variablen n und b
> können verschiedene Werte annehmen.
>
> Ermitteln Sie eine Funktion, die für jedes beliebige,
> gegebene n dasjenige b bestimmt, für das die Funktion beim
> gegebenem n ein Maximum erreicht.
Hallo,
ich fänd's hilfreich, den Originaltext zu erfahren.
So wie Du schreibst, würde ich hier das Maximum von
[mm] f(b)=na+(n^2-n)*b [/mm] berechnen,
nur ist das ja eine Gerade, und die hat kein Maximum.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Fr 02.01.2015 | | Autor: | abakus |
Nun zu deinem gerechneten Beispiel:
Wenn du willst, dass die Funktionm bei n=5 ein Maximum hat, muust du dein b=-1 verwenden.
Wenn du dein b dann abänderst, ist eben das Maximum nicht mehr bei n=5, sondern woanders.
Sprich: die Art der Durchführung der Probe war sinnlos. Du hattst a und b konstant lassen müssen und z.B. n=5,001 und n=4,999 prüfen können.
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