Differentiation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f : [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , f (x,y) : = [mm] \begin{cases}\bruch{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} , & \mbox{falls } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}
[/mm]
i. In welchen Punkten ist f stetig?
ii. Zeigen Sie, dass f sowohl in (0,0) nach x als auch nach y partiell differenzierbar ist und geben Sie die partiellen Ableitungen an.
iii. In welchen Richtungen u [mm] \in \IR^{2} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] = 1 ist f im Punkt 0 Gateaux- differenzierbar? Geben Sie die Gateaux- Ableitungen an.
iv. Finden Sie heraus in welchen Punkten f differenzierbar ist und in welchen nicht. Geben Sie f' (x,y) in den Punkten an, in denen f'(x,y) existiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebes Forum =),
ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich fange einfach mal damit an, was ich schon habe:
i. [mm] \bruch{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} [/mm] ist stetig für alle x,y [mm] \in \IR, [/mm] aber x ^ y [mm] \not= [/mm] 0 , da die Verkettung stetiger Funktionen auch stetig ist. Um zu zeigen, dass die Funktion auch im Ursprung stetig ist, müssen wir zeigen, dass der Grenzwert der Funktionswerte einer Folge von Werten im Definitionsbereich gleich dem Funktionswert im Ursprung ist, also dass gilt:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] f(x,y) = 0
1. Fall :
[mm] \limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{0^{2} y}{0^{2} + y^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{0}{y^{2}} [/mm] = 0
für x = 0 , y [mm] \not= [/mm] 0
2. Fall:
[mm] \limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2} 0}{x^{2} + 0^{2}} [/mm] =
[mm] \limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)} \bruch{0}{x^{2}} [/mm] = 0
für y = 0 , x [mm] \not= [/mm] 0
3. Fall:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}}= \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] y [mm] \* \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] y [mm] \* \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} [/mm] = 0 [mm] \* \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} [/mm] = 0
für x [mm] \not= [/mm] 0 , y [mm] \not= [/mm] 0
Somit ist f in allen Punkten [mm] \in \IR^{2} [/mm] stetig.
Ich hoffe, dass das so weit stimmt.
ii. 1. [mm] f_{x} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{h^{2} \* 0}{h^{2} + 0^{2}} - 0 }{h } [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{ 0}{h^{2}}}{h } [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h} [/mm] = 0
Da [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h} [/mm] existiert, ist f in (0,0) nach x partiell differenzierbar.
2. [mm] f_{y} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{0^{2} \* h}{0^{2} + h^{2}} - 0 }{h } [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{ 0}{h^{2}}}{h } [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h} [/mm] = 0
Da [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h} [/mm] existiert, ist f in (0,0) nach y partiell differenzierbar.
Die partiellen Ableitungen lauten: [mm] f_{y} [/mm] (0,0) = 0 und [mm] f_{x} [/mm] (0,0) = 0
iii. Für eine beliebige Richtung u = [mm] (u_{1}, u_{2}) [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] = 1 gilt [mm] :\bruch{d}{dt} [/mm] f (0 + tu) [mm] |_{t=0} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] f (tu) [mm] |_{t=0}
[/mm]
= [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] f [mm] (tu_{1}, tu_{2}) |_{t=0} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} \bruch{(tu_{1})^{2} tu_{2}}{(tu_{1})^{2}+(tu_{2})^{2}} |_{t=0} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} \bruch{t^{3}(u_{1})^{2}u_{2}}{t^{2}((u_{1})^{2}+(u_{2})^{2})} |_{t=0} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} \bruch{t(u_{1})^{2}u_{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} |_{t=0} [/mm] = [mm] (u_{1})^{2} u_{2} \bruch{d}{dt} \bruch{t}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} |_{t=0}= (u_{1})^{2} u_{2}\bruch{ \bruch{d}{dt} t}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} |_{t=0} [/mm] = [mm] \bruch{(u_{1})^{2}(u_{2})^{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} [/mm] = [mm] \begin{cases}\bruch{(u_{1})^{2}(u_{2})^{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} , & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}
[/mm]
f ist also in jede Richtung Gateaux - differenzierbar und die Gateaux- Ableitung lautet: [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] f (0 + tu) [mm] |_{t=0} [/mm] = [mm] \begin{cases}\bruch{(u_{1})^{2}(u_{2})^{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} , & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}. [/mm]
Ich hoffe so sehr, dass das stimmt. Ich habe Ewigkeiten gebraucht, um das einzutippen ^^.
iv. Hier komme ich jetzt nicht weiter. Ist hier die Frechet- Differenzierbarkeit gemeint? Zumindest haben wir diese im Skript auch mit f'(x,y) betitelt?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen und vor allem auch meine Lösungen kontrollieren kann und bedanke mich schon mal im Voraus =).
LG Richler
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> Betrachten Sie die Funktion f : [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , f (x,y) :
> = [mm]\begin{cases}\bruch{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} , & \mbox{falls } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> i. In welchen Punkten ist f stetig?
> ii. Zeigen Sie, dass f sowohl in (0,0) nach x als auch
> nach y partiell differenzierbar ist und geben Sie die
> partiellen Ableitungen an.
> iii. In welchen Richtungen u [mm]\in \IR^{2}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] u
> [mm]\parallel[/mm] = 1 ist f im Punkt 0 Gateaux- differenzierbar?
> Geben Sie die Gateaux- Ableitungen an.
> iv. Finden Sie heraus in welchen Punkten f differenzierbar
> ist und in welchen nicht. Geben Sie f' (x,y) in den Punkten
> an, in denen f'(x,y) existiert.
> Hallo liebes Forum =),
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> i. [mm]\bruch{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}[/mm] ist stetig für alle x,y
> [mm]\in \IR,[/mm] aber x ^ y [mm]\not=[/mm] 0 , da die Verkettung stetiger
> Funktionen auch stetig ist.
Ja. Statt diesem "x ^ y [mm] \not= [/mm] 0 " meinst du sicher: Für alle $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] ist f stetig als Komposition stetiger Funktionen.
> Um zu zeigen, dass die Funktion
> auch im Ursprung stetig ist, müssen wir zeigen, dass der
> Grenzwert der Funktionswerte einer Folge von Werten im
> Definitionsbereich gleich dem Funktionswert im Ursprung
> ist, also dass gilt:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm] f(x,y) = 0
Ja.
> 1. Fall :
> [mm]\limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{0^{2} y}{0^{2} + y^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{0}{y^{2}}[/mm] = 0
>
> für x = 0 , y [mm]\not=[/mm] 0
>
> 2. Fall:
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2} 0}{x^{2} + 0^{2}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)} \bruch{0}{x^{2}}[/mm] = 0
>
> für y = 0 , x [mm]\not=[/mm] 0
Die Untersuchung dieser Fälle würde etwas bringen, wenn dabei herauskäme, dass $f$ nicht stetig ist.
Ansonsten kannst du obige Ergebnisse aber nicht verwerten, da sie die Stetigkeit von f nicht beweisen (Du kannst auch nicht ohne weiteres aus den Ergebnissen in 1. und 2. die Stetigkeit folgern). Daher solltest du sie nicht hierherschreiben.
> 3. Fall:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}}= \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm]
> y [mm]\* \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
Das gilt nicht, weil der hintere Limes nicht notwendig existiert.
> Somit ist f in allen Punkten [mm]\in \IR^{2}[/mm] stetig.
Ja, aber das musst du nochmal ordentlich nachweisen. Zum Beispiel so:
$|f(x,y) - f(0,0)| = [mm] \frac{|y| * x^2}{x^2+ y^2} \le \frac{|y|*(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} [/mm] = |y| [mm] \to [/mm] 0$ ($(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$)
Das reicht völlig, um die Stetigkeit in (0,0) nachzuweisen!
Wenn dir Abschätzen schwerfällt, kannst du auch Polarkoordinaten benutzen: Schreibe $(x,y) = [mm] (r*\cos(\phi), r*\sin(\phi))$, [/mm] dann ist $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ dasselbe wie $r [mm] \to [/mm] 0$ und du siehst:
[mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) [/mm] = [mm] \lim_{r\to 0}\frac{(r \sin(\phi))* (r \cos(\phi))^2}{(r \sin(\phi))^2 + (r \cos(\phi))^2} [/mm] = $....
> ii. 1. [mm]f_{x}[/mm] (0,0) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{h^{2} \* 0}{h^{2} + 0^{2}} - 0 }{h }[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{ 0}{h^{2}}}{h }[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}[/mm] = 0
>
> Da [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0) - f(0,0)}{h}[/mm]
> existiert, ist f in (0,0) nach x partiell differenzierbar.
>
> 2. [mm]f_{y}[/mm] (0,0) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{0^{2} \* h}{0^{2} + h^{2}} - 0 }{h }[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{ \bruch{ 0}{h^{2}}}{h }[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}[/mm] = 0
>
> Da [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h) - f(0,0)}{h}[/mm]
> existiert, ist f in (0,0) nach y partiell differenzierbar.
>
> Die partiellen Ableitungen lauten: [mm]f_{y}[/mm] (0,0) = 0 und
> [mm]f_{x}[/mm] (0,0) = 0
Das ist alles richtig ! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> iii. Für eine beliebige Richtung u = [mm](u_{1}, u_{2})[/mm] mit
> [mm]\parallel[/mm] u [mm]\parallel[/mm] = 1 gilt [mm]:\bruch{d}{dt}[/mm] f (0 + tu)
> [mm]|_{t=0}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] f (tu) [mm]|_{t=0}[/mm]
> = [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] f [mm](tu_{1}, tu_{2}) |_{t=0}[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dt} \bruch{(tu_{1})^{2} tu_{2}}{(tu_{1})^{2}+(tu_{2})^{2}} |_{t=0}[/mm]
> = [mm]\bruch{d}{dt} \bruch{t^{3}(u_{1})^{2}u_{2}}{t^{2}((u_{1})^{2}+(u_{2})^{2})} |_{t=0}[/mm]
> = [mm]\bruch{d}{dt} \bruch{t(u_{1})^{2}u_{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} |_{t=0}[/mm]
> = [mm](u_{1})^{2} u_{2} \bruch{d}{dt} \bruch{t}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} |_{t=0}= (u_{1})^{2} u_{2}\bruch{ \bruch{d}{dt} t}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} |_{t=0}[/mm]
> = [mm]\bruch{(u_{1})^{2}(u_{2})^{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}}[/mm] =
> [mm]\begin{cases}\bruch{(u_{1})^{2}(u_{2})^{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} , & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
Zunächst mal Entwarnung: Die Rechnung stimmt fast, nur in den letzten beiden Schritten hast du im Zähler plötzlich [mm] $(u_2)^2$ [/mm] statt [mm] $u_2$ [/mm] da stehen. Das musst du noch korrigieren.
Beachte: ||u|| = 1, d.h. der Fall [mm] $(u_1,u_2) [/mm] = (0,0)$ den du im letzten Schritt betrachtest, ist gar nicht möglich.
> f ist also in jede Richtung Gateaux - differenzierbar und
> die Gateaux- Ableitung lautet: [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] f (0 + tu)
> [mm]|_{t=0}[/mm] =
> [mm]\begin{cases}\bruch{(u_{1})^{2}(u_{2})^{2}}{(u_{1})^{2}+(u_{2})^{2}} , & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (u_{1} , u_{2}) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}.[/mm]
Ja, auch richtig. Du musst im Zähler aber noch das [mm] $u_2^2$ [/mm] in [mm] $u_2$ [/mm] ändern. Falls mit $||u|| = 1$ die Euklidische Norm gemeint ist, d.h. [mm] $u_1^2 [/mm] + [mm] u_2^2 [/mm] = 1$, so kannst du den Nenner ja noch zu "1" umschreiben.
> Ich hoffe so sehr, dass das stimmt. Ich habe Ewigkeiten
> gebraucht, um das einzutippen ^^.
Das kann ich mir vorstellen 
> iv. Hier komme ich jetzt nicht weiter. Ist hier die
> Frechet- Differenzierbarkeit gemeint? Zumindest haben wir
> diese im Skript auch mit f'(x,y) betitelt?
Ja, es ist die Frechet-Diffbarkeit bzw. die totale Ableitung damit gemeint. Vielleicht für dich zur Einordnung:
Frechet-Differenzierbarkeit ist in endlich-dimensionalen Vektorräumen dasselbe wie die totale Ableitung.
Gateaux-Differenzierbarkeit ist in endlich-dimensionalen Vektorräumen dasselbe wie die Richtungsableitung.
Um nun zu überprüfen, ob Frechet-Differenzierbarkeit im Punkt x vorliegt, musst du nachweisen:
[mm] $\lim_{||h|| \to 0}\frac{||F(x+h) - F(x) - L*h||}{||h||} [/mm] = 0$,
wobei L bei dir dann die Jacobi-matrix, d.h. $L = [mm] (f_x(x), f_y(x))$ [/mm] wäre.
(Wenn die Funktion f stetig partiell differenzierbar wäre (d.h. partielle Ableitungen stetig) , würde auch sofort totale = Frechet Differenzierbarkeit folgen). Hoffentlich hattet ihr solch einen Satz in der Vorlesung, denn damit reduziert sich die Aufgabe wieder auf den Punkt $(0,0)$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Richler |
Danke für deine Antwort =)
Also erstmal zu i.
Für |y| kann man jede Nullfolge einsetzen und das geht immer gegen 0 und somit ist gezeigt, dass f in (0,0) stetig ist, stimmts?
Was ich nicht ganz verstehe, wieso kann ich, so wie ich es gemacht habe, damit nur zeigen, dass die Funktion nicht stetig ist, wenn es nicht funktioniert, aber wenn es funktioniert nicht zeigen, dass es dann auch stetig ist?
Und kann man das Ganze auch nach unten abschätzen oder muss man immer nach oben abschätzen?
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Hallo,
> Danke für deine Antwort =)
Gern
> Also erstmal zu i.
>
> Für |y| kann man jede Nullfolge einsetzen und das geht
> immer gegen 0 und somit ist gezeigt, dass f in (0,0) stetig
> ist, stimmts?
Genau. Das was ich da geschrieben habe, reicht als Beweis aber bereits aus.
Immer wenn $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ geht, geht ja insbesondere $y [mm] \to [/mm] 0$, und deswegen $|y| [mm] \to [/mm] 0$.
> Was ich nicht ganz verstehe, wieso kann ich, so wie ich es
> gemacht habe, damit nur zeigen, dass die Funktion nicht
> stetig ist, wenn es nicht funktioniert, aber wenn es
> funktioniert nicht zeigen, dass es dann auch stetig ist?
Weil aus den beiden Eigenschaften
[mm] $\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,y) [/mm] = f(0,0)$, [mm] $\lim_{(0,y)\to(0,0)}f(x,y) [/mm] = f(0,0)$
nicht die Stetigkeit in (0,0) folgt.
(Zum Beispiel erfüllt die Funktion:
$g(x,y) = [mm] \begin{cases}\frac{x*y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \not= (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0)\end{cases}$
[/mm]
zwar deine beiden Grenzwerteigenschaften, aber ist nicht stetig in 0)
Was du damit nachweist, nennt man "partielle Stetigkeit in x bzw. y". Du weist sozusagen nur getrennt nach, dass für festes y die Funktion stetig in x ist und umgekehrt.
Aber Stetigkeit einer Funktion auf [mm] $\IR^2$ [/mm] bedeutet, dass die Funktion in beiden Argumenten gleichzeitig stetig ist.
> Und kann man das Ganze auch nach unten abschätzen oder
> muss man immer nach oben abschätzen?
???
Natürlich musst du nach oben abschätzen!
Wir wollten doch nachweisen, dass [mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) [/mm] = f(0,0)$ (Def. der Stetigkeit in (0,0)).
Dazu äquivalent ist zu zeigen, dass $|f(x,y) - f(0,0)| [mm] \to [/mm] 0$ für $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$.
Und das haben wir bewiesen, indem wir den Term $|f(x,y) - f(0,0)|$ nach oben abgeschätzt haben gegen etwas, was gegen Null geht.
Wenn wir $|f(x,y) - f(0,0)| $ nach UNTEN abschätzen würden, könnten wir doch nicht folgern dass es gegen Null geht!
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Di 23.04.2013 | | Autor: | Richler |
Alles verstanden danke
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