Differentiation einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 03.12.2014 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | Bestimme Sie die Ableitung von [mm] \bruch{1}{^{3}\wurzel{x}} [/mm] mit der Definition.
Def.: lim=1/h*(f(x+h)-f(x) h->0 |
Ich habe die Funktion dann in die Def. eingesetzt. Habe dann erweitert und bin auf [mm] lim=1/h*((-h/x+h)/((1/^{3}\wurzel{x+h})+((1/^{3}\wurzel{x}))) [/mm] .
Jetzt weiß ich nicht wie ich das weiter umformen kann..
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme Sie die Ableitung von [mm]\bruch{1}{^{3}\wurzel{x}}[/mm]
> mit der Definition.
> Def.: lim=1/h*(f(x+h)-f(x) h->0
> Ich habe die Funktion dann in die Def. eingesetzt. Habe
> dann erweitert und bin auf
> [mm]lim=1/h*((-h/x+h)/((1/^{3}\wurzel{x+h})+((1/^{3}\wurzel{x})))[/mm]
> .
>
> Jetzt weiß ich nicht wie ich das weiter umformen kann..
Vielleicht kannst Du weiter umformen, wenn Du den richtigen Quotienten betrachtest:
[mm] \bruch{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x+h}} - \bruch{1}{\wurzel[3]{h}}}{h}
[/mm]
FRED
>
> Mit freundlichen Grüßen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 03.12.2014 | | Autor: | lukasana |
Das hatte ich in meiner Überlegung auch schon. Bin allerdings auch dort nicht weitergekommen..
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das hatte ich in meiner Überlegung auch schon. Bin
> allerdings auch dort nicht weitergekommen..
warum rechnest Du nichts vor:
[mm] $\bruch{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x+h}} - \bruch{1}{\wurzel[3]{\red{x}}}}{h}=\frac{\sqrt[3]{\red{x}}-\sqrt[3]{x+h}}{h*\sqrt[3]{\red{x}*(x+h)}}=\ldots$
[/mm]
Wobei ich jetzt auch nicht sehe, ob bzw. wie dieser Weg zum Ziel führt. Da
braucht man vielleicht noch einen Umformungstrick:
[mm] $a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)$
[/mm]
(Rechne diese Formel nach - oder Herleitung: Polynomdivision
[mm] $(a^3-b^3)\;:\;(a-b)=...$
[/mm]
durchführen!)
Mit [mm] $a=\sqrt[3]{\red{x}}$ [/mm] und [mm] $b=\sqrt[3]{x+h}$ [/mm] haben wir dann nämlich
[mm] $(a-b)=\sqrt[3]{\red{x}}-\sqrt[3]{x+h}=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\red{x}-(x+h)}{\sqrt[3]{\red{x}^2}+\sqrt[3]{\red{x}*(x+h)}+\sqrt[3]{(x+h)^2}}$
[/mm]
Einsetzen - dann $h [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mi 03.12.2014 | | Autor: | lukasana |
Danke hat mir sehr geholfen!
Mit freundlichen Grüßen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke hat mir sehr geholfen!
gerne. Nebenbei:
Berechne mal etwas allgemeiner
[mm] $(a^n-b^n)\;:\;(a-b)$
[/mm]
per Polynomdivision. Sowas kann *bei solchen Aufgaben hier* hilfreich sein!
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:37 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Bestimme Sie die Ableitung von [mm]\bruch{1}{^{3}\wurzel{x}}[/mm]
> > mit der Definition.
> > Def.: lim=1/h*(f(x+h)-f(x) h->0
> > Ich habe die Funktion dann in die Def. eingesetzt. Habe
> > dann erweitert und bin auf
> >
> [mm]lim=1/h*((-h/x+h)/((1/^{3}\wurzel{x+h})+((1/^{3}\wurzel{x})))[/mm]
> > .
> >
> > Jetzt weiß ich nicht wie ich das weiter umformen kann..
>
> Vielleicht kannst Du weiter umformen, wenn Du den richtigen
> Quotienten betrachtest:
>
> [mm]\bruch{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x+h}} - \bruch{1}{\wurzel[3]{h}}}{h}[/mm]
besser ist es:
[mm] $\bruch{ \bruch{1}{\wurzel[3]{x+h}} - \bruch{1}{\wurzel[3]{\red{x}}}}{h}$
[/mm]
zu benutzen (und ich wunderte mich die ganze Zeit, warum ich bei C&P
Deiner Formel zu keinem sinnvollen Ziel kam ^^).
Gruß,
Marcel
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