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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:41 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Um meine Reihe von ein wenig anderartigen, bzw. hier noch nicht so aufgetauchten Aufgaben fortzuführen, hier eine weitere Aufgabe. Ich habe mich gestern schon lange damit befasst, habe leider nur (a) herausbekommen, vielleicht gelingt mir ja auch noch (b). Sie stammt aus der selben Bundesrunde wie die Aufgabe zur harmonischen Reihe. Hier kommt sie:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(QUELLE: Olympiade-Mathematik.de)
Liebe Grüße und viel Spaß,
Hanno
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich denke, dass (a) nur eine kleine Warmwerdübung war, denn sie ist recht leicht wie folgt zu lösen:
Die größtmögliche Differenz zwischen zwei Zahlen im Bereich von 1 bis 111 liegt bei 111-1=110. Die kleinste ist die Eins, folglich gibt es insgesamt 110 verschiedene Differenzen. Durch Auswählen je zweier der 32 Zahlen können wir jedoch [mm] $\vektor{32\\ 2}=496$ [/mm] Differenzen bilden. Selbst wenn jede der 110 Differenzen vier mal auftauchte, so gäbe es nur 440 Differenzen. Nach dem Schubfachprinzip muss es also eine Differenz geben, die mindestens fünf mal vorkommt.
Ein paar Wörtchen zu (b) schon jetzt:
Ich glaube, dass (b) ebenfalls korrekt ist. Ersten glaube ich, dass es recht schwierig zu beweisen wäre, dass man immer mit fünf Vorkommen einer Differenz auskommt, und zudem halte ich es für reizvoll, weitere Kriterien zu finden, welche Differenzen überhaupt wie oft auftauchen dürfen (die Annahme, dass jede der 110 Zahlen vier mal auftritt, ist nur eine obere Schranke - dies ist gar nicht möglich, da die Differenzen 110, 109 und 108 überhaupt nur 1,2 bzw. 3 mal auftauchen können).
So, ich melde mich, falls ich (b) auch noch schaffe.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi Hanno
Teil 1 ist durch das Schubfachprinzip völlig trivial, und von dir richtig gelöst.
In Teil 2 muss man einen Trick anwenden: -nämlich das "Strecken einer Differenz"
Man benennt die Zahlen bezüglich ihrer Größe [mm]a_1 \le a_2 \le ... \le a_{32}[/mm]
Und nun Strecken wir die größte Differenz [mm] a_{32}-a_{1}=(a_{32}-a_{31})+(a_{31}-a_{30})+...+(a_2-a_1)[/mm]
Wenn es nun immer nur maximal 5 gleiche Differnzen gäbe, dann wäre der kleinste Wert für [mm] a_{32}-a_1 = 5*(1+2+3+4+5+6)+2*7=119[/mm]
Nach Aufgabenstellung muss aber [mm]a_{32}-a_1 <111[/mm]
Wiederspruch!!!!!!!!
Grüß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Samuel!
Schöne Lösung, klingt so, als wäre das eine wohlbekannte Technik - aus deinem Buch?
Ich glaube allerdings, dass du am Ende einen kleinen Fehler gemacht hast, und zwar muss dort doch [mm] $1\cdot [/mm] 7$ und nicht [mm] $2\cdot [/mm] 7$ stehen, da deine Darstellung von [mm] $a_{32}-a_1$ [/mm] aus 31 und nicht 32 aufsummierten Differenzen besteht. Dann kommt 112 heraus, was immer noch ein Widerspruch ist.
Dennoch schön gemacht.
Liebe Grüße,
Hanno
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