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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:17 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Sosa |
| Aufgabe | Es seien für [mm] j\varepsilon \{0,1,2\} [/mm] die Wertepaare
[mm] x_{j} [/mm] 0,3 0,9 1,1
[mm] f(x_{j}) [/mm] 12,0 3,0 4,0 gegeben.
Gesucht ist ein möglichst guter Näherungswert für die erste Ableitung von f an der Stelle x=0,9. Konstruieren sie hierzu eine Differenzenformel, die die oben angegebenen Werte berücksichtigt und berechnen sie damit den gesuchten Näherungswert. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter.
Erst mal weiß ich nicht, wie die Differenzenformel aussehen muss. In meine Skript hab ich diese Formel gefunden: f(x) = [mm] A*f(x_{0}) [/mm] + [mm] B*f(x_{1}) [/mm] + [mm] C*f(x_{2})
[/mm]
Ist das jetzt schon die gesuchte Differenzenformel, oder ist das total falsch?
Und wie berücksichtige ich die Werte und was für ein Näherungswert ist gesucht?
Bin um jeden Ansatz dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sosa
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Du sollst einen Näherungswert für die Steigung dieser Funktion - basierend auf den drei gegebenen Werten - berechnen?
Zu aller erst:
Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten (Steigungsdreieck)?
Dann berechnest du einmal die Steigung zwischen 0,3 und 0,9 und einmal zwischen 0,9 und 1,1.
Dann hast du zwei Steigungswerte raus, von diesen beiden bildest du den Mittelwert.
Allerdings solltest du dabei bedenken, dass die 1,1 deutlich näher an der 0,9 drannliegt als die 0,3, also nicht einfach den Mittelwert der Zahlen berechnen sondern dieses Verhältnis auch noch mit berücksichtigen.
Es gab vor ein paar Tagen mal einen Tread mit genau dem gleichen Problem (drei Wertpaare gegeben, Näherung für die Steigung gesucht), aber den find ich leider grad nicht...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Di 30.08.2011 | | Autor: | Sosa |
Danke für die Hilfe.
Hab erst die beiden Steigungen ausgerechnet:
[mm] m_{1}= [/mm] -15
[mm] m_{2}=5
[/mm]
Dann hab dich die Etfernungen berücksichtigt. Da 0,3 3x so weit von 0,9 wie 1,1 entfert ist hab ich die Gewichtungen [mm] g_{1}=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] g_{2}=\bruch{2}{3} [/mm] gewählt.
Und dann berechnet:
[mm] m=g_{1}*m_{1}+g_{2}*m_{2}
[/mm]
m=-1,67
Ist der Rechenweg so richtig?
Also hab ich jetz schon den Näherungswert ausgerechnet. Oder?
Aber in der Aufgabenstellung steht doch ich soll es mit einer Differenzenformel berechnen.
Wie mach ich jetzt weiter?
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Also meiner Meinung nach bist du jetzt fertig.^^
An sonsten müsstest du mal verraten, wie genau ihr "Differenzenformel" definiert habt.
Nach dem was Google mir zu dem Begriff liefert würde ich meinen $ [mm] m=g_{1}\cdot{}m_{1}+g_{2}\cdot{}m_{2} [/mm] $ könnte diese Formel sein, aber wie gesagt: Wie genau habt ihr es definiert?
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> Es seien für [mm]j\varepsilon \{0,1,2\}[/mm] die Wertepaare
> [mm]x_{j}[/mm] 0,3 0,9 1,1
> [mm]f(x_{j})[/mm] 12,0 3,0 4,0 gegeben.
> Gesucht ist hierzu eine Differenzenformel, die die oben
> angegebenen Werte berücksichtigt und berechnen sie damit
> den gesuchten Näherungswert.
> Hallo,
> bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter.
> Erst mal weiß ich nicht, wie die Differenzenformel
> aussehen muss. In meine Skript hab ich diese Formel
> gefunden: f(x) = [mm]A*f(x_{0})[/mm] + [mm]B*f(x_{1})[/mm] + [mm]C*f(x_{2})[/mm]
> Ist das jetzt schon die gesuchte Differenzenformel, oder
> ist das total falsch?
> Und wie berücksichtige ich die Werte und was für ein
> Näherungswert ist gesucht?
Hallo Sosa,
was für ein Näherungswert gesucht sein soll, müsste
eigentlich in der Aufgabe stehen.
Ich vermute, dass eine Interpolationsformel gefragt ist.
Schadowmaster hat offenbar an so etwas wie eine
lineare Regression gedacht, was etwas anderes ist.
Da man also nur mit etwas Glück erraten kann, was
wirklich gemeint ist, solltest du etwas genauere Infor-
mationen liefern.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Sosa |
Hallo Al-Chw.
danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast. Hab beim abschreiben der Aufgabe einen Satz vergessen, aber es jetzt in meiner Aufgabenstellung Korrigiert.
Ich weiß jetzt trotz dem noch nicht wie ich vorgehen muss.
Ist das was ich bisher gemacht habe gar nicht gefragt?
Und ist es richtig, dass ich diese Differenzenformel verwenden muss?
f(x) = [mm]A*f(x_{0})[/mm] + [mm]B*f(x_{1})[/mm] + [mm]C*f(x_{2})[/mm]
Danke schon mal im Voraus
Sosa
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> Und ist es richtig, dass ich diese Differenzenformel
> verwenden muss?
> f(x) = [mm]A*f(x_{0})[/mm] + [mm]B*f(x_{1})[/mm] + [mm]C*f(x_{2})[/mm]
Hallo Sosa,
ich versuche einmal, die Methode der Differenzenformeln
"nachzuerfinden". Die Idee ist, dass man durch die 3
gegebenen Punkte als Ersatz für die im übrigen unbekannte
Funktion eine quadratische Funktion legt.
Die gegebenen Stellen [mm] x_0=0.3, x_1=0.9 [/mm] und [mm] x_2=1.1 [/mm] können wir mit
[mm] x_1-3h [/mm] , [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_1+h [/mm] bezeichnen, wobei [mm] x_1=0.9 [/mm] und h=0.2 ist.
Ferner sei [mm] y_i:=f(x_i) [/mm] .
$\ q$ sei die gesuchte quadratische Ersatzfunktion.
Dann gilt
$\ [mm] q'(x_1+\frac{h}{2})\ [/mm] =\ [mm] \frac{y_2-y_1}{h}\ [/mm] =:\ s$
$\ [mm] q'(x_1-\frac{3\,h}{2})\ [/mm] =\ [mm] \frac{y_1-y_0}{3\,h}\ [/mm] =:\ t$
Da $\ q'$ linear ist, kann man aus diesen beiden Werten durch
lineare Interpolation den Wert [mm] q'(x_1) [/mm] berechnen:
$\ [mm] q'(x_1)\ [/mm] =\ [mm] t+\frac{x_1-(x_1-\frac{3\,h}{2})}{2\,h}*(s-t)\ [/mm] =\ [mm] \frac{3*s+t}{4}$ [/mm]
Zusammen führt dies auf
$\ [mm] q'(x_1)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{12\,h}*(-y_0-8\,y_1+9\,y_2)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hallo Sosa,
wie die Methode mit den Differenzengleichungen genau
dargestellt wird, weiß ich nicht. Ich weiß aber mit ziemlicher
Sicherheit, dass sie angesichts der heutigen Rechengeräte
für die Behandlung eines einzelnen Beispiels bestimmt keinen
rechnerischen Vorteil mehr bringt. Im vorliegenden Fall ginge
es einfach darum, durch die 3 vorgegebenen Punkte eine
Parabel (Graph einer quadratischen Funktion) zu legen und
die Ableitung dieser Funktion an der angegebenen Stelle zu
berechnen.
Will man trotzdem der Anleitung folgen, so kann man etwa
[mm] x_0:=0.9 [/mm] , h:=0.2 , [mm] g(t):=f(x_0+t*h)) [/mm] setzen.
g soll eine quadratische Funktion sein, also setzen wir
[mm] g(t):=a*t^2+b*t+c [/mm] und erhalten die Gleichungen
[mm] g(0)=f(0.9)=a*0^2+b*0+c=c=3
[/mm]
[mm] g(-3)=f(0.3)=a*(-3)^2+b*(-3)+c=9a-3b+c=12
[/mm]
[mm] g(1)=f(1.1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=4 [/mm]
Daraus kann man die Werte von a, b und c und daraus die
Gleichung für die Ableitung berechnen. Einsetzen liefert dann
den gesuchten Wert.
Die Methode mit den Differenzengleichungen scheint ein
(eher etwas altertümliches) Mittel zu sein, diese Rechnungen
scheinbar mit kleinem Aufwand zu erledigen. Falls man sie für
viele Beispiele benötigt, kann ihr Einsatz durchaus
sinnvoll sein - für ein einzelnes Rechenbeispiel aber bestimmt
nicht.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Do 01.09.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Wenn man drei Punkte hat, könnte man daraus die Werte für a, b und c bestimmen aus:
f(x) = [mm] ax^{2}+bx+c [/mm]
Und von der so gefundenen Funktion die Ableitung bilden.
Und dann sehen, welche Steigung dann an der Stelle x=0.9 ist
P.S.
Die Funktion könnte natürlich auch eine andere Form haben, wie z,B.
f(x) = [mm] a^{x}+\bruch{b}{x}+c [/mm] ,
aber das wäre wohl etwas weit hergeholt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 06.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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