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| Aufgabe | [mm] a_n=a_{n-1}+2n+1 [/mm] ; [mm] n\in\IN\sub [/mm]
[mm] a_1=2
[/mm]
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Hallo,
ich habe vor einiger Zeit einmal das Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge durch Probieren gefunden:
[mm] $a_n=n(n+2)-1=(n+1)^2-2$ [/mm] ; [mm] a_n={1,2,7,14,...}
[/mm]
Heute hatte ich etwas über Differenzengleichungen gelesen, dass man diese in Anlehnung an Differentialgleichungen lösen kann - und wollte es mit dieser Aufgabe versuchen.
Homogene Gleichung:
[mm] a_n=a_{n-1} [/mm] ; [mm] a_n=\rho^n
[/mm]
[mm] \rho^n=\rho^{n-1}
[/mm]
[mm] \rho=1
[/mm]
Homogene Lösung: [mm] a_{n,(h)}=1^n=1
[/mm]
Partieller Lösungsansatz
[mm] a_{n,(p)}=An+B
[/mm]
$An+B=A(n-1)+B+2n+1$
$0*n+A=2n+1$
Ein Koeffizientenvergleich ergibt, dass diese Gleichung keine Lösung hat.
Rechnet man mit $A=2n+1$ weiter, kommt ein falsches Ergebnis heraus.
Sind die Lösungsmethoden für DGL nicht 1:1 auf Differenzengleichungen übertragbar?
Vielen Dank für eine Antwort im Voraus.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a_n=a_{n-1}+2n+1[/mm] ; [mm]n\in\IN\sub[/mm]
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> [mm]a_1=2[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe vor einiger Zeit einmal das Bildungsgesetz für
> diese Zahlenfolge durch Probieren gefunden:
>
> [mm]a_n=n(n+2)-1=(n+1)^2-2[/mm] ; [mm]a_n={1,2,7,14,...}[/mm]
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> Heute hatte ich etwas über Differenzengleichungen gelesen,
> dass man diese in Anlehnung an Differentialgleichungen
> lösen kann - und wollte es mit dieser Aufgabe versuchen.
>
> Homogene Gleichung:
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> [mm]a_n=a_{n-1}[/mm] ; [mm]a_n=\rho^n[/mm]
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> [mm]\rho^n=\rho^{n-1}[/mm]
>
> [mm]\rho=1[/mm]
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> Homogene Lösung: [mm]a_{n,(h)}=1^n=1[/mm]
>
> Partieller Lösungsansatz
>
> [mm]a_{n,(p)}=An+B[/mm]
>
> [mm]An+B=A(n-1)+B+2n+1[/mm]
>
> [mm]0*n+A=2n+1[/mm]
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> Ein Koeffizientenvergleich ergibt, dass diese Gleichung
> keine Lösung hat.
>
> Rechnet man mit [mm]A=2n+1[/mm] weiter, kommt ein falsches Ergebnis
> heraus.
>
> Sind die Lösungsmethoden für DGL nicht 1:1 auf
> Differenzengleichungen übertragbar?
Nein
FRED
>
> Vielen Dank für eine Antwort im Voraus.
>
> LG, Martinius
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Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort.
Gibt es denn sonst mit schulischen Mitteln eine Möglichkeit die explizite Lösung der Folge zu berechnen - außer Probieren?
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibt es denn sonst mit schulischen Mitteln eine Möglichkeit
> die explizite Lösung der Folge zu berechnen - außer
> Probieren?
naja, es ist ja [mm] $a_k=a_{k-1}+2k+1\,$ [/mm] für alle [mm] $\,k\,,$ [/mm] so dass für jedes [mm] $k\$ [/mm] gilt:
[mm] $$a_k-a_{k-1}=2k+1\,.$$
[/mm]
Weiter gilt
[mm] $$a_n-a_0=\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})\;\;\;\;(=(\blue{a_1}-a_0)+(\green{a_2}\blue{-a_1})+...+(\red{a_{n-1}}-a_{n-2})+(a_n\red{-a_{n-1}}))\,,$$
[/mm]
(Eine etwas formalere Begründung: [mm] $\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})=\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big)-\sum_{k=1}^n a_{k-1}=\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big)-\sum_{m=0}^{n-1} a_{m}=a_n-a_0\,.$)
[/mm]
also (nach dem ![[]](/images/popup.gif) kleinen Gauss (Formel mit (Special case of the arithmetic series)), oder auch hier)
[mm] $$a_n-a_0=\sum_{k=1}^n (2k+1)=2*\Big(\sum_{k=1}^n k\Big)+\sum_{k=1}^n 1=2*\frac{n}{2}(n+1)+n=n^2+2n=n(n+2)\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(\star)\;\;\;a_n=n(n+2)+a_0\,.$$
[/mm]
Bei Dir war übrigens [mm] $a_1=2\,,$ [/mm] was mich wundert, weil angeblich [mm] $a_n=a_{n-1}+2n+1$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert gewesen sollte. Dann würde man [mm] $a_0$ [/mm] rückwärts berechnen.
Für [mm] $a_0=1$ [/mm] und [mm] $a_{n}:=a_{n-1}+2n+1$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist allerdings
[mm] $$a_0=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_1=1+2*1+1=4\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_2=4+2*2+1=9\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_3=9+2*3+1=16\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_4=16+2*4+1=25\,,$$
[/mm]
[mm] $$\text{etc.}$$
[/mm]
Test mit [mm] $(\star)$ [/mm] (passt sogar bei $n=0$: [mm] $a_0=0*(0+2)+a_0=a_0$):
[/mm]
[mm] $$a_1=1*(1+2)+1=4\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_2=2*(2+2)+1=9\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_3=3*(3+2)+1=16\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_4=4*(4+2)+1=25\,,$$
[/mm]
[mm] $$\text{etc.}$$
[/mm]
P.S.:
Wenn bei Dir [mm] $a_1=2$ [/mm] war, dann wäre [mm] $1*(1+2)+a_0=2\,,$ [/mm] also [mm] $a_0=-1$ [/mm] gewesen.
P.P.S.:
Neben obiger Herleitung könnte man auch raten:
[mm] $$a_n=n(n+2)+a_0\,,$$
[/mm]
und diese Formel dann vermittels Induktion beweisen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die Antwort.
LG, Martinius
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