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| Aufgabe | Im folgenden gelte immer: [mm] n\in \IN!
[/mm]
Seien [mm] \alpha_{n}, \beta_{n} [/mm] vorgegebene Folgen
[mm] a_{n } [/mm] sei Lösung der Differenzengleichung [mm] a_{n+1}=\alpha_{n}*a_{n}+\beta_{n} [/mm]
Bestimmen sie im allgemeinen Fall, wenn [mm] \alpha_{n} [/mm] eine beliebig vorgegebene reele Folge ist, das expilzite Bildungsgesetz für [mm] a_{n } [/mm] und beweisen sie es. |
Ich habe diese Aufgabe angefangen und folgendes erhalten:
Zunächst hab ich mir die ersten Folgenglieder angeschaut:
[mm] a_{1}= \alpha_{0}*a_{0}+\beta_{0}
[/mm]
[mm] a_{2}= \alpha_{1}*a_{1}+\beta_{1}
[/mm]
[mm] a_{3}= \alpha_{2}*a_{2}+\beta_{2}
[/mm]
[mm] a_{4}= \alpha_{3}*a_{3}+\beta_{3}
[/mm]
[mm] a_{5}= \alpha_{4}*a_{4}+\beta_{4}
[/mm]
und dann folgendes gemacht:
[mm] a_{1}= \alpha_{0}*a_{0}+\beta_{0}
[/mm]
[mm] a_{2}= \alpha_{1}*[\alpha_{0}*a_{0}+\beta_{0}]+\beta_{1}
[/mm]
= [mm] \alpha_{1}*\alpha_{0}*a_{0}+\alpha_{1}*\beta_{0}+\beta_{1}
[/mm]
[mm] a_{3}= \alpha_{2}*[\alpha_{1}*\alpha_{0}*a_{0}+\alpha_{1}*\beta_{0}+\beta_{1}]+\beta_{2}
[/mm]
= [mm] \alpha_{2}*\alpha_{1}*\alpha_{0}*a_{0}+\alpha_{2}*\alpha_{1}*\beta_{0}+\alpha_{2}*\beta_{1}+\beta_{2}
[/mm]
Das ganze habe ich dann sogar noch bis [mm] a_{5} [/mm] und natrlich lassen sich regelmäßigkeiten erkennen, die man verm dann ganz einfach in eine Summen/Produktformel zusammenfassen kann, aber hier bin ich irgendie unfähig zu;D
Kann mir jemand helfen, wie man nun weiter vorgehen muss?
EDIT:
So ich habe meine Ideen ausgebaut:)
ich glaube folgende Regelmäßigkeit erkennen zu können:
$ [mm] a_{n}=\alpha_{n-1}\alpha_{n-2}\cdot{}...\cdot{}\alpha_{0}a_{0}+\alpha_{n-1}\alpha_{n-2}\cdot{}...\cdot{}\alpha_{1}\beta_{0} [/mm] $ + $ [mm] \alpha_{n-1}\alpha_{n-2}\cdot{}...\cdot{}\alpha_{2}\beta_{1} [/mm] $ + .....+ $ [mm] \alpha_{n-1}\beta_{n-2} [/mm] $ + $ [mm] \beta_{n-1} [/mm] $
Nur bekomm ich es nicht hin, dass in Summenschreibweise aufzustellen und "zu vereinfachen".
Könnt ihr mir da helfen oder einen tipp geben?
Viele Grüße
Sandra
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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