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| Aufgabe | | Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzengleichung: [mm] x_{n+2} [/mm] - [mm] 2*x_{n+1} [/mm] + [mm] x_{n} [/mm] = 10 + 6*n + [mm] 9*4^{n} [/mm] |
Hi,
ich habe versucht obige Differenzengleichung zu lösen, doch wenn ich mein Ergebnis mit dem von Wolfram Alpha[1] vergleiche, dann unterscheiden sich diese etwas. Ich komme jedoch nicht drauf wo mein Fehler liegt.
.)homogene Lösung: [mm] x_{n} [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2}*n
[/mm]
.)partikuläre Lösung:
Störfunktion: 10 + 6*n + [mm] 9*4^n [/mm]
Ansatz: [mm] A_{0} [/mm] + [mm] A_{1}*n [/mm] + [mm] A_{2}*4^n
[/mm]
==> da Resonanz, mit [mm] n^2 [/mm] multipliziert:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] A_{0}*n^2 [/mm] + [mm] A_{1}*n^3 [/mm] + [mm] A_{2}*4^n [/mm]
Mit obigem Ansatz komme ich dann auf folgende partikuläre Lösung: [mm] x_{n} [/mm] = [mm] 2*n^2 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 4^n
[/mm]
==> allg. Lösung = homogene Lösung + partikuläre Lösung = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2}*n [/mm] + [mm] 2*n^2 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] + [mm] 4^n
[/mm]
Wolfram Alpha kommt aber auf folgende Lösung:
a(n) = [mm] n*(c_2+ n*(n+2)-3)+c_1+4^n
[/mm]
Meine Lösung stimmt mit der von Wolfram Alpha überein, bis auf den Umstand, dass mir der Faktor -3*n fehlt.
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Hab ich vielleicht den Ansatz falsch gewählt?
[1] ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Alpha Lösung
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Do 23.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ohne das ganze im Detail näher betrachtet zu haben; ist [mm] $c_2$ [/mm] nicht eh beliebig? Welchen Unterschied macht die -3 dann?
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Fr 24.06.2011 | | Autor: | Schluchti |
Hallo,
so hatte ich das noch gar nicht betrachtet. Ich denke, ich werde meine Lösung einfach mal als richtig hinnehmen.
Danke!
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Hallo Schluchti,
> Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen
> Differenzengleichung: [mm]x_{n+2}[/mm] - [mm]2*x_{n+1}[/mm] + [mm]x_{n}[/mm] = 10 +
> 6*n + [mm]9*4^{n}[/mm]
> Hi,
>
> ich habe versucht obige Differenzengleichung zu lösen,
> doch wenn ich mein Ergebnis mit dem von Wolfram Alpha[1]
> vergleiche, dann unterscheiden sich diese etwas. Ich komme
> jedoch nicht drauf wo mein Fehler liegt.
>
> .)homogene Lösung: [mm]x_{n}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}*n[/mm]
>
> .)partikuläre Lösung:
> Störfunktion: 10 + 6*n + [mm]9*4^n[/mm]
> Ansatz: [mm]A_{0}[/mm] + [mm]A_{1}*n[/mm] + [mm]A_{2}*4^n[/mm]
> ==> da Resonanz, mit [mm]n^2[/mm] multipliziert:
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]A_{0}*n^2[/mm] + [mm]A_{1}*n^3[/mm] + [mm]A_{2}*4^n[/mm]
>
> Mit obigem Ansatz komme ich dann auf folgende partikuläre
> Lösung: [mm]x_{n}[/mm] = [mm]2*n^2[/mm] + [mm]n^3[/mm] + [mm]4^n[/mm]
>
> ==> allg. Lösung = homogene Lösung + partikuläre Lösung
> = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}*n[/mm] + [mm]2*n^2[/mm] + [mm]n^3[/mm] + [mm]4^n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wolfram Alpha kommt aber auf folgende Lösung:
> a(n) = [mm]n*(c_2+ n*(n+2)-3)+c_1+4^n[/mm]
>
> Meine Lösung stimmt mit der von Wolfram Alpha überein,
> bis auf den Umstand, dass mir der Faktor -3*n fehlt.
Nun, -3*n ist eine spezielle homogene Lösung.
>
> Ich würd mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge
> helfen könnte. Hab ich vielleicht den Ansatz falsch
> gewählt?
Dein Ansatz ist richtig.
>
> [1]
> Wolfram Alpha Lösung
Gruss
MathePower
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