www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisDifferenzenquotient
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis" - Differenzenquotient
Differenzenquotient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzenquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Mo 05.06.2006
Autor: bobby

Hallo!

Eigentlich ist das denk ich eine leichte Aufgabe, aber ich komme trotzdem nicht mehr weiter, vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen:

Sei [mm] f:(a,b)\to\IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und [mm] x\in(a,b). [/mm] Zeige, dass dann [mm] f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}} [/mm] gilt.

Also, den Differenzenquotient für f' haben wir schon und jetzt soll ich also den für f'' herleiten.

Ich habs einmal folgendermaßen probiert:
[mm] f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f'(x+h)-f'(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}} [/mm]
und hier komm ich dann auch nicht weiter...

Dann hab ichs mal andersrum probiert:
[mm] f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}+\bruch{f(x-h)-f(x)}{h}}{h} [/mm]
und dann ist ja der erste Bruch gleich f', aber weiter weis ich dann auch nicht...

        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Mo 05.06.2006
Autor: felixf

Hallo Bobby!

> Eigentlich ist das denk ich eine leichte Aufgabe, aber ich
> komme trotzdem nicht mehr weiter, vielleicht kann mir einer
> von euch weiterhelfen:
>  
> Sei [mm]f:(a,b)\to\IR[/mm] zweimal stetig differenzierbar und
> [mm]x\in(a,b).[/mm] Zeige, dass dann
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}[/mm]
> gilt.
>  
> Also, den Differenzenquotient für f' haben wir schon und
> jetzt soll ich also den für f'' herleiten.
>  
> Ich habs einmal folgendermaßen probiert:
>  
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f'(x+h)-f'(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}[/mm]
>  und hier komm ich dann auch nicht weiter...
>  
> Dann hab ichs mal andersrum probiert:
>  
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}+\bruch{f(x-h)-f(x)}{h}}{h}[/mm]
>  und dann ist ja der erste Bruch gleich f', aber weiter
> weis ich dann auch nicht...

Ich glaube so kommst du nicht weiter.

Versuch es doch mal wie folgt: Da die Funktion zweimal stetig diffbar ist, kannst du die Taylorentwicklung (um $x$) ersten Gerades von $f$ (mit Lagrange-Restglied) berechnen. Diese setzt du nun fuer den Bruch ein; dann hebt sich erstmal fast alles weg bis nur noch zweimal die zweite Ableitung uebrigbleibt. Wenn du jetzt $h$ gegen $0$ gehen laesst, so bekommst du unter Benutzung der Stetigkeit von $f''$ zu dem gewuenschten Ergebnis.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]