Differenzenquotient < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe z. Zt. eine Nachhilfeschülerin, 11. Klasse, die mit Differenzialrechnung anfängt.
Ich wollte gerade einen Zettel für sie vorbereiten, mit Bsp. zum Grenzwert des Differenzenquotienten (h-Methode). Das geht einfach mit Funktionen, wie z.B. [mm] f(x)=x^2 [/mm] oder [mm] g(x)=x^3, [/mm] aber h(x)=sin(x) sieht mich im Moment etwas seltsam an.
h(x)=sin(x)
[mm] $h'(x)= \; \limes_{h \to 0} \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h} [/mm] $
$= [mm] \; \limes_{h \to 0} \frac{sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x)}{h} [/mm] $
cos(h) geht gegen 1;
sin(h) geht gegen 0 ; h geht auch gegen 0; (Kleinwinkelnäherung)
[mm] $=\limes_{h \to 0} \left[ \frac{sin(x)*1}{h} \right]-\frac{sin(x)}{h} [/mm] +cos(x)* [mm] \frac{sin(h)}{h} [/mm] $
= 0 + cos(x)*1
Kann ich das so stehen lassen?
LG, Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe z. Zt. eine Nachhilfeschülerin, 11. Klasse, die
> mit Differenzialrechnung anfängt.
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> Ich wollte gerade einen Zettel für sie vorbereiten, mit
> Bsp. zum Grenzwert des Differenzenquotienten (h-Methode).
> Das geht einfach mit Funktionen, wie z.B. [mm]f(x)=x^2[/mm] oder
> [mm]g(x)=x^3,[/mm] aber h(x)=sin(x) sieht mich im Moment etwas
> seltsam an.
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> h(x)=sin(x)
>
> [mm]h'(x)= \; \limes_{h \to 0} \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}[/mm]
>
> [mm]= \; \limes_{h \to 0} \frac{sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x)}{h}[/mm]
>
>
> cos(h) geht gegen 1;
>
> sin(h) geht gegen 0 ; h geht auch gegen 0;
> (Kleinwinkelnäherung)
>
>
> [mm]=\limes_{h \to 0} \left[ \frac{sin(x)*1}{h} \right]-\frac{sin(x)}{h} +cos(x)* \frac{sin(h)}{h} [/mm]
Wie Du darauf kommst ist mir ein Rätsel !
>
> = 0 + cos(x)*1
>
>
> Kann ich das so stehen lassen?
Nein.
Es ist
$ [mm] \frac{sin(x)\cdot{}cos(h)+cos(x)\cdot{}sin(h)-sin(x)}{h} [/mm] = sin(x)* [mm] \bruch{cos(h)-1}{h}+cos(x)*\bruch{sin(h)}{h}$
[/mm]
Ob und wie Du Deiner Nachhilfeschülerin verklickern kannst, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{cos(h)-1}{h}= [/mm] 0 und [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)}{h}= [/mm] 1
ist, kann ich nicht beurteilen .
FRED
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>
> LG, Martin
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Hallo Fred,
habe vielen Dank für Deinen post.
> > Hallo,
> >
> > ich habe z. Zt. eine Nachhilfeschülerin, 11. Klasse, die
> > mit Differenzialrechnung anfängt.
> >
> > Ich wollte gerade einen Zettel für sie vorbereiten, mit
> > Bsp. zum Grenzwert des Differenzenquotienten (h-Methode).
> > Das geht einfach mit Funktionen, wie z.B. [mm]f(x)=x^2[/mm] oder
> > [mm]g(x)=x^3,[/mm] aber h(x)=sin(x) sieht mich im Moment etwas
> > seltsam an.
> >
> > h(x)=sin(x)
> >
> > [mm]h'(x)= \; \limes_{h \to 0} \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}[/mm]
> >
> > [mm]= \; \limes_{h \to 0} \frac{sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x)}{h}[/mm]
>
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> >
> > cos(h) geht gegen 1;
> >
> > sin(h) geht gegen 0 ; h geht auch gegen 0;
> > (Kleinwinkelnäherung)
> >
> >
> > [mm]=\limes_{h \to 0} \left[ \frac{sin(x)*1}{h} \right]-\frac{sin(x)}{h} +cos(x)* \frac{sin(h)}{h} [/mm]
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> Wie Du darauf kommst ist mir ein Rätsel !
> >
> > = 0 + cos(x)*1
> >
> >
> > Kann ich das so stehen lassen?
>
> Nein.
>
> Es ist
>
> [mm]\frac{sin(x)\cdot{}cos(h)+cos(x)\cdot{}sin(h)-sin(x)}{h} = sin(x)* \bruch{cos(h)-1}{h}+cos(x)*\bruch{sin(h)}{h}[/mm]
>
> Ob und wie Du Deiner Nachhilfeschülerin verklickern
> kannst, dass
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{cos(h)-1}{h}=[/mm] 0 und
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)}{h}=[/mm] 1
>
> ist, kann ich nicht beurteilen .
>
> FRED
Das sieht viel besser aus & ich kann es nachvollziehen. Da ich aber nie Mathematik studiert habe werde ich mich wohl bei der Erklärung zum Grenzwert des Differenzenquotienten auf z.B. eine quadratische Fnkt. beschränken.
Wenn Du da bitte nocheinmal einen Blick drauf werfen könntest (?) ...
[mm] $f(x)=x^2$
[/mm]
$f'(x) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \limes_{h \to 0} \; \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) \; [/mm] = [mm] \; \limes_{h \to 0} \; \left( \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \right) [/mm] = [mm] \; \limes_{h \to 0} \left( \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \right) \; [/mm] = [mm] \; \limes_{h \to 0} \left( \frac{2xh+h^2}{h} \right) [/mm] $
$= [mm] \; \limes_{h \to 0} \; [/mm] (2x+h) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 2x $
Das müsste richtig sein (?).
LG, Martin
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Hallo Martin,
> Wenn Du da bitte nocheinmal einen Blick drauf werfen
> könntest (?) ...
>
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> [mm]f(x)=x^2[/mm]
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> [mm]f'(x) \; = \; \limes_{h \to 0} \; \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) \; = \; \limes_{h \to 0} \; \left( \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \right) = \; \limes_{h \to 0} \left( \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \right) \; = \; \limes_{h \to 0} \left( \frac{2xh+h^2}{h} \right) [/mm]
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> [mm]= \; \limes_{h \to 0} \; (2x+h) \; = \; 2x[/mm]
>
>
> Das müsste richtig sein (?).
Das ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
reverend
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