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Bestimmen Sie die explizite Form von fn zu den gegebenen Differenzengleichungen... |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hi, ich habe folgende Fragen:
Bei Teilaufgabe a) stelle ich das char.Polynom auf und erhalte durch Raten, Polynomendivision und pq-Formel drei Nullstellen (1,-1,3). Was mache ich aber nun mit f1,f2 und f3?
Bei b) erhalte ich ein char.Polynom 4ten Grades. Meine Frage hier: Wie erhalte ich jetzt die Nulstellen? Wenn ich die erste Nullstelle errate, muss ich dann die Polynomendivision 2 Mal durchführen, um eine Gleichung 2ten Grades zu bekommen?
Ich habe es jedenfalls so gemacht, aber schon bei der ersten Polynomendivision habe ich das Problem, dass ein Rest von -80 übrigbleibt. Was nun?
MfG
Arthur
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Siehe Bild!
> Bestimmen Sie die explizite Form von fn zu den gegebenen
> Differenzengleichungen...
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hi, ich habe folgende Fragen:
> Bei Teilaufgabe a) stelle ich das char.Polynom auf und
> erhalte durch Raten, Polynomendivision und pq-Formel drei
> Nullstellen (1,-1,3).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was mache ich aber nun mit f1,f2 und f3?
Na, wozu hast Du denn die Nullstellen des char. Polynoms bestimmt? - Antwort: damit Du für den Vektorraum aller Funktionen $f: [mm] \IN\rightarrow \IC$, [/mm] die die Differenzengleichung
[mm]f(n)=3\cdot f(n-1)+f(n-2)-3\cdot f(n-3)[/mm]
(ohne die drei Anfangsbedingungen) erfüllen, eine Basis hast. Dies sind die drei Funktionen [mm] $n\mapsto 1^n$, $n\mapsto (-1)^n$ [/mm] und [mm] $n\mapsto 3^n$. [/mm]
Somit kannst Du für die gesuchte Funktion [mm] $f_n$, [/mm] die nicht nur die Differenzengleichung sondern auch noch die drei Anfangsbedingungen erfüllt, folgenden Ansatz machen: [mm] $f_n [/mm] = [mm] c_1 \cdot 1^n+c_2\cdot (-1)^n+c_3 \cdot 3^n$ [/mm] (mit noch zu bestimmenden "Skalaren" [mm] $c_{1,2,3}$).
[/mm]
Damit diese Funktion die drei Anfangsbedingungen erfüllt, muss gelten:
[mm]\begin{array}{rcrcrcl|l}
c_1 &-& c_2 &+& 3c_3 &=& 19 & \text{da $f_1=19$}\\
c_1 &+& c_2 &+& 9c_3 &=& 39 & \text{da $f_2=39$}\\
c_1 &-& c_2 &+& 27c_3 &=& 115 &\text{da $f_3=115$}\\\cline{1-7}
\end{array}[/mm]
Aus diesem linearen Gleichungssystem kannst Du [mm] $c_{1,2,3}$ [/mm] bestimmen.
> Bei b) erhalte ich ein char.Polynom 4ten Grades. Meine
> Frage hier: Wie erhalte ich jetzt die Nulstellen? Wenn ich
> die erste Nullstelle errate, muss ich dann die
> Polynomendivision 2 Mal durchführen, um eine Gleichung 2ten
> Grades zu bekommen?
Wenn Du weisst, dass [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms $p(z)$ ist, dann muss in jedem Falle die einmalige Polynomdivision von $p(z)$ durch [mm] $z-z_0$ [/mm] ohne Rest aufgehen. (Denn der Rest bei der Division [mm] $p(z)/(z-z_0)$ [/mm] ist gerade der Wert [mm] $p(z_0)$.)
[/mm]
Wenn die Division nicht aufgeht, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Du hast Dich getäuscht, als Du glaubtest erkannt zu haben, dass [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle von $p(z)$ ist;
oder
2. Du hast die Division [mm] $p(z):(z-z_0)$ [/mm] nicht richtig ausgeführt.
> Ich habe es jedenfalls so gemacht, aber schon bei der
> ersten Polynomendivision habe ich das Problem, dass ein
> Rest von -80 übrigbleibt. Was nun?
Kontrollieren ob Du tatsächlich eine Nullstelle [mm] $z_0$ [/mm] des fraglichen Polynoms gefunden und richtig durch [mm] $z-z_0$ [/mm] dividiert hast.
Die Vorstellung, dass Du notwendigerweise 2 mal durch [mm] $z-z_0$ [/mm] ohne Rest dividieren kannst, ist aber falsch. Mindestens 2 mal kannst Du nur durch [mm] $z-z_0$ [/mm] ohne Rest dividieren, wenn [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle von mindestens 2. Ordnung von $p(z)$ ist. Da Du dies aber nicht weisst, musst Du nach der Polynomdivision wieder Nullstellen des verbleibenden Polynoms [mm] $\frac{p(z)}{z-z_0}$ [/mm] suchen.
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Hi, danke für die tolle Antwort.
Nur noch eine kleine Zwischenfrage:
Bei b) bekomme ich das char.Polynom [mm] q^4 [/mm] - 3q³ - 12q² + 6q + 20 = 0, dessen Nullstelle -2 ist. Nach der Polynomendivision bekomme ich q³ - 5q² - 2q + 10 = 0 , wobei hier die NS 5 ist.
Jetzt bekomme ich nach der PD q²-2.
Soweit ich das sehe, habe ich mich nicht verrechnet, aber ich weiß jetzt nicht was ich mit der Nullstelle (Wurzel 2) anstellen soll.
Mfg
Arthur
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> Hi, danke für die tolle Antwort.
> Nur noch eine kleine Zwischenfrage:
> Bei b) bekomme ich das char.Polynom [mm]q^4[/mm] - 3q³ - 12q² + 6q
> + 20 = 0, dessen Nullstelle -2 ist. Nach der
> Polynomendivision bekomme ich q³ - 5q² - 2q + 10 = 0 ,
> wobei hier die NS 5 ist.
> Jetzt bekomme ich nach der PD q²-2.
> Soweit ich das sehe, habe ich mich nicht verrechnet, aber
> ich weiß jetzt nicht was ich mit der Nullstelle (Wurzel 2)
> anstellen soll.
Ich verstehe nicht, was in diesem Falle das Problem ist: denn Du hast hier wieder zwei Nullstellen: [mm] $q_1=+\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $q_2=-\sqrt{2}$. [/mm] Sofern Dein charakteristisches Polynom und die gefundenen Nullstellen richtig sind, wären also die Funktionen [mm] $n\mapsto (-2)^n$, $n\mapsto 5^n$, $n\mapsto \sqrt{2}^n$ [/mm] und [mm] $n\mapsto \left(-\sqrt{2}\right)^n$ [/mm] eine Basis des Vektorraumes aller Funktionen [mm] $f\!:\IN\rightarrow \IR$, [/mm] die die Differenzengleichung erfüllen. Und wieder machst Du den Ansatz mit den unbekannten skalaren Koeffizienten einer Linearkombination dieser Basisfunktionen, die die gesuchte Funktion (die auch den Anfangsbedingungen genügen muss) ergeben.
Es gibt allerdings einen speziellen Fall was die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der (homogen-)linearen Differenzengleichung betrifft: Wenn Du nämlich eine mehrfache, sagen wir $k$-fache, Nullstelle $q$ des charakteristischen Polynoms erhältst, dann ist es so, dass nicht nur die Funktion [mm] $n\mapsto q^n$ [/mm] eine Lösung der Differenzengleichung ist, sondern auch deren partielle Ableitung nach $q$. Also die Funktion [mm] $n\mapsto n\cdot q^{n-1}$ [/mm] (allgemein: die Funktionen, die man durch bis zu $k-1$-fache partielle Ableitung nach $q$ erhält). Auf diese Weise erhältst Du also auch in einem solchen Falle eine vollständige Basis des Vektorraumes aller Funktionen, die die gegebene Differenzengleichung erfüllen.
Grund: Eine $k$-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist auch eine Nullstelle der ersten $k-1$ Ableitungen des charakteristischen Polynoms.
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