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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 09.03.2010 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Der Bestand einer Population von Feldmäusen entwickelt sich ungefähr nach der Differenzialgleichung
f'(t)=0,07*f(t), wobeif(t) die Zahl der Mäuse zum Zeitpunkt t(in Monaten) angibt.
a) Wie lange dauert es, bis sich eine Population von 170 Feldmäusen auf 3000 vermehrt?
b) Wenn die Mäusepopulation auf ca. 3000 Mäuse pro Hektar angewachsen ist, kommt es zu einem Zusammenbruch der Population, der durch den Gedrängeschock vermittels Blutzuckersenkung verursacht wird und der die Population auf ca. 1/30 ihrer Größe dezimiert. Berechnen Sie die Zeitdauer zwishen je zwei solcher Zusammenbrüche der Population. |
Hallo Leute,
wir (meine Klasse) sind heute, durch das Fehlen meiner Lehrerin, in den Genuss einer Aufgabe aus dem Gebiet der Differenzialgleich des exponentiellen Wachstums gekommen. Doch leider habe ich nicht den geringsten Plan - denke ich zumindestens.
Mein Lösungsansatz:
f'(t)=0,07*f(t)
Daraus ergibt sich für [mm] f(t)\not=0 [/mm] die Gleichung [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)}
[/mm]
Dann muss man meines Wissens nach die Stammfunktion bilden:
[mm] |f(t)|=0,07t+c_{1}=e^{0,07t+c_{1}}= e^{c_{1}}*e^{0,07t}=c_{2}*e^{0,07t}
[/mm]
[mm] f(t)=c_{2}*e^{0,07t}
[/mm]
Jedenfalls habe ich es so in mehreren Beispielen gefunden.
Nun müsste es eine Möglichkeit geben c auszurechnen oder f(t) oder...??
Weiß hier jemand bitte weiter? Bin planlos!
Mia
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Hallo silfide,
> Der Bestand einer Population von Feldmäusen entwickelt
> sich ungefähr nach der Differenzialgleichung
> f'(t)=0,07*f(t), wobeif(t) die Zahl der Mäuse zum
> Zeitpunkt t(in Monaten) angibt.
>
> a) Wie lange dauert es, bis sich eine Population von 170
> Feldmäusen auf 3000 vermehrt?
>
> b) Wenn die Mäusepopulation auf ca. 3000 Mäuse pro Hektar
> angewachsen ist, kommt es zu einem Zusammenbruch der
> Population, der durch den Gedrängeschock vermittels
> Blutzuckersenkung verursacht wird und der die Population
> auf ca. 1/30 ihrer Größe dezimiert. Berechnen Sie die
> Zeitdauer zwishen je zwei solcher Zusammenbrüche der
> Population.
> Hallo Leute,
>
> wir (meine Klasse) sind heute, durch das Fehlen meiner
> Lehrerin, in den Genuss einer Aufgabe aus dem Gebiet der
> Differenzialgleich des exponentiellen Wachstums gekommen.
> Doch leider habe ich nicht den geringsten Plan - denke ich
> zumindestens.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> f'(t)=0,07*f(t)
> Daraus ergibt sich für [mm]f(t)\not=0[/mm] die Gleichung
> [mm]\bruch{f'(t)}{f(t)}[/mm]
> Dann muss man meines Wissens nach die Stammfunktion
> bilden:
> [mm]|f(t)|=0,07t+c_{1}=e^{0,07t+c_{1}}= e^{c_{1}}*e^{0,07t}=c_{2}*e^{0,07t}[/mm]
>
> [mm]f(t)=c_{2}*e^{0,07t}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jedenfalls habe ich es so in mehreren Beispielen gefunden.
> Nun müsste es eine Möglichkeit geben c auszurechnen oder
> f(t) oder...??
>
> Weiß hier jemand bitte weiter? Bin planlos!
Nun, in der Aufgabe ist die Rede von
einer Anfangspopulation von 170 Feldmäusen.
Demnach ist [mm]f\left(0\right)=170[/mm].
Damit ist auch die Konstante [mm]c_{2}[/mm] festgelegt.
>
> Mia
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 09.03.2010 | | Autor: | silfide |
Hallo Mathepower,
> Nun, in der Aufgabe ist die Rede von
> einer Anfangspopulation von 170 Feldmäusen.
>
>
> Demnach ist [mm]f\left(0\right)=170[/mm].
>
> Damit ist auch die Konstante [mm]c_{2}[/mm] festgelegt.
Gehe ich dann recht in der Annahme, das daraus folgt, dass [mm] 170=c_{2}*e^{0,07*0} [/mm] ist und [mm] f(t)=\bruch{170}{e}*e^{0,07*t}?
[/mm]
Mia
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Hallo Mia,
> Hallo Mathepower,
>
> > Nun, in der Aufgabe ist die Rede von
> > einer Anfangspopulation von 170 Feldmäusen.
> >
> >
> > Demnach ist [mm]f\left(0\right)=170[/mm].
> >
> > Damit ist auch die Konstante [mm]c_{2}[/mm] festgelegt.
>
> Gehe ich dann recht in der Annahme, das daraus folgt, dass
> [mm]170=c_{2}*e^{0,07*0}[/mm] ist und
> [mm]f(t)=\bruch{170}{e}*e^{0,07*t}?[/mm]
Nee, es ist [mm] $\red{170}=f(0)=c_2\cdot{}e^{0,07\cdot{}0}=c_2\cdot{}e^0=c_2\cdot{}1\red{=c_2}$
[/mm]
Also [mm] $f(t)=170\cdot{}e^{0,07\cdot{}t}$
[/mm]
>
> Mia
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Di 09.03.2010 | | Autor: | silfide |
Aua, das tut jetzt weh. Könnte mich selber in den ... treten.
Ich danke dir.
Mia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 09.03.2010 | | Autor: | silfide |
Noh ne Frage über ganz Dumme (also mich):
Ich setze die 3000 jetzt in die Funktion f(t) und habe nach dem umstellen:
[mm] \bruch{300}{17}=e^{0,07t}
[/mm]
Was mache ich denn nun mit diesem e (welches mich schon seit 3 Blöcken in den Wahnsinn treibt)?
Mia
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Hallo silfide,
> Noh ne Frage über ganz Dumme (also mich):
>
> Ich setze die 3000 jetzt in die Funktion f(t) und habe nach
> dem umstellen:
> [mm]\bruch{300}{17}=e^{0,07t}[/mm]
>
> Was mache ich denn nun mit diesem e (welches mich schon
> seit 3 Blöcken in den Wahnsinn treibt)?
Wende die inverse Funktion der e-Funktion an.
Hier heisst das:
Wenn den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an.
>
> Mia
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 09.03.2010 | | Autor: | silfide |
D.h. log [mm] \bruch{300}{17}=0,07t
[/mm]
weil [mm] y=a^{x} [/mm] und [mm] y=log_{a} [/mm] x sind zueinander invers.
oder??
Bitte, sag mir nicht, dass ich auf dem Holzweg bin.
Mia
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Hallo silfide,
> D.h. log [mm]\bruch{300}{17}=0,07t[/mm]
Hier musst Du den "ln" anwenden, d.h.
[mm]\ln\left(\bruch{300}{17}\right)=0.07*t[/mm]
Diese Gleichung ist jetzt nach t aufzulösen.
>
> weil [mm]y=a^{x}[/mm] und [mm]y=log_{a}[/mm] x sind zueinander invers.
>
> oder??
Ja, insbesondere gilt das auch für die die Basis [mm]a=e[/mm].
>
> Bitte, sag mir nicht, dass ich auf dem Holzweg bin.
>
> Mia
>
Gruss
MathePower
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