Differenzialgleichung[einfach] < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei c [mm] \in \IR [/mm] und f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist differenzierbar . Wenn f die Differentialgleichung erfüllt:
f'(x) = c* f(x)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
dann muss f von der form f(x)=f(0) exp(cx)
Hinweis: Arbeite mit g(x):= f(x) exp(- cx) |
g(x):= f(x) exp(-cx)
g'(x)= [mm] -ce^{-c x} [/mm] f(x) + [mm] e^{ -cx} [/mm] f'(x)= [mm] -ce^{- cx} [/mm] f(x ) + [mm] e^{-c x}c [/mm] f(x)=0
g(0) = [mm] \frac{f(x)}{exp(cx)} [/mm] * exp(-c*0)= [mm] \frac{f(x)}{exp(cx)} [/mm] = f(0)= g(x)
Wie folgt aber nun f'(x) = c* f(x). Bin ich blind, dass ich da den letzten schritt nicht sehe?
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 06.09.2012 | | Autor: | wauwau |
du nimmst an $ [mm] f(x)=e^{-cx}g(x)$ [/mm] wäre ein Lösung und zeigst dass g(x) konstant sein muss..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 06.09.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo,
wie meinst du das mit g konstant sein?
Das verstehe ich nicht.
LG,
qausimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 06.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei c [mm]\in \IR[/mm] und f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] ist differenzierbar . Wenn
> f die Differentialgleichung erfüllt:
> f'(x) = c* f(x)
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> dann muss f von der form f(x)=f(0)
> exp(cx)
> Hinweis: Arbeite mit g(x):= f(x) exp(- cx)
>
> g(x):= f(x) exp(-cx)
> g'(x)= [mm]-ce^{-c x}[/mm] f(x) + [mm]e^{ -cx}[/mm] f'(x)= [mm]-ce^{- cx}[/mm] f(x )
> + [mm]e^{-c x}c[/mm] f(x)=0
jetzt benutze f'(x) = c* f(x), d.h. setz es ein! was folgt dann für g'(x)? was bedeutet das für g(x)?
> g(0) = [mm]\frac{f(x)}{exp(cx)}[/mm] * exp(-c*0)=
> [mm]\frac{f(x)}{exp(cx)}[/mm] = f(0)= g(x)
Das ist unsinnig geschrieben! du kannst 0 nicht "teilweise" einsetzen
also berechne g(0) richtig!
> Wie folgt aber nun f'(x) = c* f(x). Bin ich blind, dass ich
> da den letzten schritt nicht sehe?
Das soll nicht folgen, sondern du sollst aus f'(x) = c* f(x). die eindeutige Lösung [mm] f(0)*e^{cx} [/mm] folgern
dasss das eine Lösung ist kannst du durch einsetzen zeigen. nun nimm an, es gibt eine zweite in anderer Form, mit der bildest du dann g.
Gruss leduart
> LG,
> quasimo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 07.09.2012 | | Autor: | quasimo |
> Hinweis: Arbeite mit g(x):= f(x) exp(- cx)
>
> g(x):= f(x) exp(-cx)
> g'(x)= $ [mm] -ce^{-c x} [/mm] $ f(x) + $ [mm] e^{ -cx} [/mm] $ f'(x)= $ [mm] -ce^{- cx} [/mm] $ f(x )
> + $ [mm] e^{-c x}c [/mm] $ f(x)=0
> jetzt benutze f'(x) = c* f(x), d.h. setz es ein! was folgt dann für g'(x)? was bedeutet das für g(x)?
Das habe ich doch oben im vorletzten Gleichheitszeichen benutzt.
Es folgt dass [mm] \exists [/mm] Konstante k [mm] \in \IR: [/mm] g(x) = k [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
> Das ist unsinnig geschrieben! du kannst 0 nicht "teilweise" einsetzen
> also berechne g(0) richtig!
g(0) = f(0) * exp(-c*0) = f(0)
f'(x) = c* f(x)
So ist f(x)= f(0) * exp(cx) denn
f'(x) = c* f(0) * exp(cx) =c*g(0)*exp(cx)=c*g(x)*exp(cx)=c*(f(x)*exp(-cx))*exp(cx)= c*f(x)=f'(x)
Jetzt fehlt noch die Eindeutigkeitsaussage und die sagst du hat mit dem g im Hinweis zu tun.
Angenommen es gibt eine andere Form f(x) darzustellen....
??
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 07.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Hinweis: Arbeite mit g(x):= f(x) exp(- cx)
> >
> > g(x):= f(x) exp(-cx)
> > g'(x)= [mm]-ce^{-c x}[/mm] f(x) + [mm]e^{ -cx}[/mm] f'(x)= [mm]-ce^{- cx}[/mm] f(x
> )
> > + [mm]e^{-c x}c[/mm] f(x)=0
>
> > jetzt benutze f'(x) = c* f(x), d.h. setz es ein! was folgt
> dann für g'(x)? was bedeutet das für g(x)?
> Das habe ich doch oben im vorletzten Gleichheitszeichen
> benutzt.
> Es folgt dass [mm]\exists[/mm] Konstante k [mm]\in \IR:[/mm] g(x) = k [mm]\forall[/mm]
> x [mm]\in \IR[/mm]
erstmal folgt, dass g'(x)=0 und daraus g(x)=konst=g(0)=f(0)
und nicht ein beliebiges k
>
> g(0) = f(0) * exp(-c*0) = f(0)
>
> f'(x) = c* f(x)
So ist f(x)= f(0) * exp(cx) eine Lösung denn daraus folgt
> f'(x) = c* f(0) * exp(cx)
=f(0)*f(x)
hier ist dein g nicht am platz, du zeigst doch nur durch einsetzen dass f(x)= f(0) * exp(cx) eine Lösung ist.
jetzt angenommen, es gibt eine zweite Lösung [mm] f1(x)\ne [/mm] f(0) * exp(cx) mit demselben Anfangswert f1(0)=f(0)
dann bilde f1*g oder (f1-f)*g im ersten Fall f1=f
im zweiten Fall f1-f=0
die Rechnung läuft wie gehabt.
Gruss leduart
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