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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Leute.
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Thema ist
Differenzialgleichung der harmonischen Schwingen
Aufgabe lautet: Welche Funktion f erfüllt die folgenden Bedingungen?
1) f''(x) = -4 (fx) mit
2) f(0) = 1
3) f'(0) = 2
Als allgemeinen Ansatz würde ich nehmen
f(x) = sin(kx+c)
f'(x) = k cos(kx+c)
f''(x) = - [mm] k^2 [/mm] sin(kx+c)
Mit Bedingung 2 und 3
2) sin(0+c)=1 => der Sinus ist bei x= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gleich 1.
also c=1
3) k cos(0x+c) = 2
Nun ist hier aber mein Problem. An der ermittelten C-stelle wäre die Nullstelle vom Cosinus. Irgendwas ist also falsch.
Ändere ich mal eben die Reihenfolge der Bedingungen und stelle es als neuen Ansatz da
3) k cos(0x+c) = 2
k cos (c) = 2 => k=2 und c=0 oder [mm] 2\pi
[/mm]
oder k=-2 und c = [mm] \pi
[/mm]
2) sin(c)=1
Wird aber niemals mit meinen ermittelten Cs erfüllt.
Wo liegt der Fehler? Darf ich nicht die allgemeine Sinusfunktion immer als Ausgangsgleichung benutzen? Wie erkennt man denn sonst, welche Ausgangsfunktion man benutzen muss?
Danke - Grüße Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 19.11.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo Leute.
Hallo Johann
> Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Thema ist
> Differenzialgleichung der harmonischen Schwingen
> Aufgabe lautet: Welche Funktion f erfüllt die folgenden
> Bedingungen?
>
> 1) f''(x) = -4 (fx) mit
>
> 2) f(0) = 1
>
> 3) f'(0) = 2
>
> Als allgemeinen Ansatz würde ich nehmen
>
> f(x) = sin(kx+c)
Das funktioniert so nicht, du musst alls allgemeinen Ansatz [mm] $f(x)=A\sin(kx+c)$ [/mm] nehmen. Die Amplitude A und die Phasenverschiebung c ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, der Faktor k ergibt sich durch die geforderte Differentialgleichung.
>
> f'(x) = k cos(kx+c)
>
> f''(x) = - [mm]k^2[/mm] sin(kx+c)
Achtung: Deine Funktion erfüllt nur dann die Differentialgleichung, wenn [mm] $k=\pm [/mm] 2$. Wegen der möglichen Phasenverschiebung c, kann du $k=2$ nehmen.
>
> Mit Bedingung 2 und 3
>
> 2) sin(0+c)=1 => der Sinus ist bei x= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> gleich 1.
> also c=1
>
> 3) k cos(0x+c) = 2
>
> Nun ist hier aber mein Problem. An der ermittelten C-stelle
> wäre die Nullstelle vom Cosinus. Irgendwas ist also
> falsch.
>
> Ändere ich mal eben die Reihenfolge der Bedingungen und
> stelle es als neuen Ansatz da
>
>
> 3) k cos(0x+c) = 2
>
> k cos (c) = 2 => k=2 und c=0 oder [mm]2\pi[/mm]
> oder k=-2 und c = [mm]\pi[/mm]
>
> 2) sin(c)=1
>
> Wird aber niemals mit meinen ermittelten Cs erfüllt.
>
>
> Wo liegt der Fehler? Darf ich nicht die allgemeine
> Sinusfunktion immer als Ausgangsgleichung benutzen? Wie
> erkennt man denn sonst, welche Ausgangsfunktion man
> benutzen muss?
>
>
> Danke - Grüße Johann
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> > f(x) = sin(kx+c)
>
> Das funktioniert so nicht, du musst alls allgemeinen Ansatz
> [mm]f(x)=A\sin(kx+c)[/mm] nehmen. Die Amplitude A und die
> Phasenverschiebung c ergeben sich aus den
> Anfangsbedingungen, der Faktor k ergibt sich durch die
> geforderte Differentialgleichung.
>
Danke für deine Antwort, aber
damit komme ich aber leider immer noch nicht zum Ziel.
f(x) = A*sin(kx+c)
f'(x) = k*A*cos(kx+c)
f''(x) = - [mm] k^2*A*cos(kx+c)
[/mm]
1) f(0)=1
1 = A*sin(c) => (c = arc sin ( [mm] \bruch{1}{A})) [/mm] oder anscheinend besser: A= [mm] \bruch{1}{sin(c)}
[/mm]
2) f'(0) = 2
2= k*A*cos(c)
2 = [mm] k*\bruch{1}{sin(c)}*cos(c) [/mm]
2 = k*cot(c)
3) f''(x) = -4 *f(x)
- [mm] k^2*A*cos(kx+c) [/mm] = -4 *A*cos(kx+c) | : A*cos(kx+c)
- [mm] k^2 [/mm] = -4 => k= [mm] \pm2
[/mm]
Erkenntnis in zwei eingesetzt
entweder
2 = -2*cot(c) | :(-2)
-1 = cot(c)
oder
2 = 2*cot(c)
1 = cot(c) => c= [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Mit der nach A umgestellten Gleichung:
A= [mm] \bruch{1}{sin(c)}
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{sin(0,25\pi)}
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{0,7}
[/mm]
A= 1.4142
D.h. die Funktionsgleichung lautet:
f(x) = [mm] 1.4142*sin(2x+\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Als Probe mal mit Bedingung 1) : f(0)=1
f(x) = [mm] 1.4142*sin(2x+\bruch{\pi}{4})
[/mm]
f(0) = [mm] 1.4142*sin(\bruch{\pi}{4}) \approx [/mm] 1
Ist das richtig?
Bitte entschuldigt, dass es hier nicht ganz so schön formatiert ist, aber ich habe nie eine (ordentlichere) Schreibweise dafür gelernt.
Grüße Johann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Sa 19.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Johannes
Dein Ergebnis ist richtig. Nur dein Vorgehen ist nicht ganz korrekt.
Eigentlich ist der erste Schritt immer, eine allgemeine Lösung der Dgl zu finden. die unabhängig von den Anfangsbed. die Dgl. erfüllt.
Dann ist dein Ansatz mit f=A*sin(kx+c) gut. Aber dieser Ansatz löst die Dgl nur für [mm] k^{2}=4. [/mm] Und damit erst hast du die allg. Lösung:
f(x)=A*sin(2*x+c)
Der Rest ist richtig. Da du das k erst ganz zum Schluss richtig bestimmst, ist zwar alles richtig, aber es wird umständlich.
Meistens (eigentlich immer) ist es günstiger, die 2 Gleichungen für A und c zuerst hinzuschreiben. Dann übersieht man die Sache leichter. Also hier:
1. A*sin(c)=1
2. A*2*cos(c)=2 ==>A*cos(c)=1
1.)/2. sinc/cosc=1 tanc=1 [mm] c=\pi/4
[/mm]
[mm] A=1/sin(\pi/4)
[/mm]
Das hast du ja auch alles richtig raus. Nur lohnt es sich, etwas systematischer vorzugehen, dann bist du am Schluss sicherer.
Also keine Kritik, nur ein guter Rat!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 So 20.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Danke an alle. Habe es nun hoffentlich verstanden.
Und recht vielen Dank für diesen Tipp, Leduart. Wenn ich ihn nicht vergesse, wird es sicherlich eine Arbeitserleichterung.
Grüße Johann
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