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| Aufgabe | Für welche t [mm] \in \IR [/mm] hat das Schaubild von f in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangente, die zueinander orthogonal sind?
f (x) = x² - 4tx + 3t² |
Irgenwie bin ich in der Aufgabe hängen geblieben.
Also f(x) lässt sich ja durch quadratische Ergänzung umformen zu
f(x)= (x-2t)² - t²
Man sieht dass es eine Normalparabel ist, die verschoben wurde.
Weiterhin soll f(x) = 0 sein, das heißt es muss gelten
3t =x bzw. t= x/3
Außerdem muss gelten dass [mm] f'(x_{1}) [/mm] = [mm] -1/f'(x_{2})
[/mm]
Dann hab ich noch die Ableitung gemacht:
f'(x)=2x-4t
ABer jetzt komm ich nicht mehr weiter. Ich hab für x dann in der Ableitung 3t eingesetzt und dass dann in die Formel obendran eingesetzt, aber da kam nichts richtiges raus.
Dann hab ich versucht zuerst an der Normalparabel die Punkte zu finden und dann erst das t zu bestimmen. Aber das hat auch nicht hingehauen!
HILFE!!!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 24.03.2006 | | Autor: | maetty |
Hallo!
Deine Nullstelle ist richtig, aber es gibt noch eine:
[mm]f(x_N) = 0[/mm]
[mm]x^2-4tx+3t^2 = 0[/mm]
mit p,q-Formel gilt:
[mm]x_{1,2} = 2t \pm \wurzel {4t^2-3t^2}[/mm]
[mm]x_{1,2} = 2t \pm t[/mm]
[mm]x_{N_1} = 3t[/mm]
[mm]x_{N_2} = t[/mm]
Wie Du schon richtig erkannt hast ist
[mm]f'(x) = 2x-4t[/mm]
D.h. die Steigungen der Tangenten in den Nullstellen beträgt:
[mm]f'(3t) = 6t-4t[/mm]
[mm]f'(t) = 2t-4t[/mm]
Außerdem gilt für zwei orthogonale Geraden:
[mm]m_1 * m_2 = -1[/mm]
Nun brauchst Du nur noch die Steigungen einzusetzten und nach t aufzulösen. Das kannst du ja selber probieren.
Zur Kontrolle: [mm]t_{1,2} = \pm \bruch{1}{2}[/mm]
mätty
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