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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 22.06.2006 | | Autor: | olpi |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^3-9*x^2+27*x-19
[/mm]
Beweise, dass die Funktion zu ihrem Wendepunkt P(3;8) punktsymmetrisch ist |
Wie kann ich das nachweisen, wenn ich keinerlei Kenntnisse habe, wie man das rechnet, wenn der Symmetriepunkt nicht der Koordinatenursprung ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Do 22.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo olpi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt $P \ ( \ [mm] \red{a} [/mm] \ | \ [mm] \blue{b} [/mm] \ )$ wird nachgewiesen durch folgende Beziehung:
[mm] [quote]$f(\red{a}+x) [/mm] + [mm] f(\red{a}-x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{b}$[/quote]
[/mm]
Auf Deine Funktion bezogen, heißt das:
$f(3+x)+f(3-x) \ = \ [mm] (3+x)^3-9*(3+x)^2+27*(3+x)-19 [/mm] + [mm] (3-x)^3-9*(3-x)^2+27*(3-x)-19 [/mm] \ = \ ... \ = \ 2*8 \ = \ 16$
Multipliziere die Klammern nun aus und fasse zusammen; da sollte dann der Wert $16_$ verbleiben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 22.06.2006 | | Autor: | olpi |
Diese Gleichung hatte ich noch nicht in der Schule. Ich muss die Aufgabe ohne diese Gleichung Lösen.
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Hi, olpi,
aber Du weißt sicher, wie man einen Funktionsgraphen im KoSy verschiebt!
f(x) + 3 heißt: Verschiebung um 3 nach oben
f(x) - 2 heißt: Verschiebung um 2 nach unten.
f(x-1) heißt: Verschiebung um 1 nach rechts (!)
f(x+4) heißt: Verschiebung um 4 nach links.
Und nun verschiebst Du den Graphen Deiner Funktion so, dass der Wendepunkt in den Nullpunkt zu liegen kommt, also:
- um 3 nach links und
- um 8 nach unten.
(Sinn: Wenn Deine Funktion zu (3/8) symmetrisch ist, dann die verschobene zu (0/0) - und umgekehrt!)
Du musst also
g(x) = f(x+3) - 8
ausrechnen
und wirst erkennen, dass der Graph dieser Funktion g zum Ursprung symmetrisch ist.
mfG!
Zwerglein
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