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| Aufgabe | Berechne f' für die funktion f(x)= 4/x² - x mit dem Differentialquotient und erkläre mit einer Skizze, was du berechnet hast.
b.)Definiere: Was bedeutet: f ist stetig in einem Punkt P(x/f(x))
c.)erkläre mit Hilfe einer Skizze: wie stellt man mit Hilfe der Differentialrechnung fest, ob ein Punkt ein Minimum ist? |
tja angabe schön und gut.
ich habe mir dieses beispiel angesehen und eigetnlich wusste ich nicht mehr wo ich anfangen soll...
darum wende ich mich jetzt an euch, vielleicht könnt ihr mir dabei helfen, ich wäre euch sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] \text{Hier gehst du am besten mit der 'h-Methode' vor:}
[/mm]
[mm] $f:f(x)=\bruch{4}{x^2}-x$
[/mm]
[mm] $f(x_{0})=\bruch{4}{x_{0}^2}-x_{0}$
[/mm]
[mm] $f(x_{0}+h)=\bruch{4}{(x_{0}+h)^2}-(x_{0}+h)$
[/mm]
[mm] $m(h)=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)^2}-(x_{0}+h)-\left[\bruch{4}{x_{0}^2}-x_{0}\right]}{h}=...$
[/mm]
[mm] $\limes_{h\rightarrow0}m(h)=...$
[/mm]
[mm] \text{Stetig bedeutet, wenn an dieser Stelle der Grenzwert der Sekantensteigung (also der Differenzenquotient) existiert.}
[/mm]
[mm] \text{Durch die Skizze wirst du erkennen, dass an denjenigen Stellen ein Minimum existiert, wo der Graph linksgekrümmt ist und horizontale Tangente hat.}
[/mm]
[mm] \text{Zu mehr bin ich aus Zeitgründen leider im Moment nicht in der Lage, Grüße, Stefan.}
[/mm]
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| Aufgabe | | $ [mm] m(h)=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)^2}-(x_{0}+h)-\bruch{4}{x_{0}^2}-x_{0}}{h}=... [/mm] $ |
wenn ich das jetzt so ausrechne kommt irgend ein müll raus!
rauskommen muss aber: [mm] -1-8/x^3
[/mm]
zumindest laut mathematica!
wenn du mir vielleicht sagen könntest wie ich das ausrechnen sollte? haben bisher immer nur mit einem x in der funktion gearbeitet!
danke!
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:44 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
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> [mm]m(h)=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)^2}-(x_{0}+h)-\bruch{4}{x_{0}^2}-x_{0}}{h}=...[/mm]
> wenn ich das jetzt so ausrechne kommt irgend ein müll
> raus!
>
> rauskommen muss aber: [mm]-1-8/x^3[/mm]
>
> zumindest laut mathematica!
>
> wenn du mir vielleicht sagen könntest wie ich das
> ausrechnen sollte? haben bisher immer nur mit einem x in
> der funktion gearbeitet!
>
> danke!
[mm] m(h)=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)^2}-(x_{0}+h)-[\bruch{4}{x_{0}^2}-x_{0}]}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{4(x_{0}+h)^{-2}-x_{0}-h-4x_{0}^{-2}+x_{0}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{4(x_{0}+h)^{-2}-h-4x_{0}^{-2}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{4(x_{0}+h)^{-2}-4x_{0}^{-2}}{h}-\bruch{h}{h}
[/mm]
[mm] \red{=\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)²}-\bruch{4}{x_{0}²}}{h}-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4x_{0}²}{(x_{0}+h)²x_{0}²}-\bruch{4(x_{0}+h)²}{x_{0}²(x_{0}+h)²}}{h}-1
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4(x_{0}²-(x_{0}²+2hx_{0}+h²)}{(x_{0}+h)²*x_{0}}}{h}-1
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4(2hx_{0}+h²)}{(x_{0}+h)²*x_{0}²}}{h}-1
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4(2hx_{0}+h²)}{(x_{0}+h)²*x_{0}²}}{h}-1
[/mm]
[mm] =\bruch{8hx_{0}+4h²)}{((x_{0}+h)²*x_{0}²)*h}-1
[/mm]
[mm] =\bruch{8\not{h}x_{0}+4h\not{²})}{((x_{0}+h)²*x_{0}²)*\not{h}}-1
[/mm]
Jetzt kannst du für h=0 einsetzen:
(Zumindest müsste es Funktionieren)
Aber bitte Prüf es unbedingt nach
Marius
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danke für die raschd antwort, doch es komtm gegenüber dem ergebnis des programmes wieder ein anderes heraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 08.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Fehler Entdeckt, ich korrigiere schon
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Das ist aber nicht so dolle ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ... Wir subtrahieren doch keine Brüche, indem wir (ich schreibe hier jetzt nicht das Falsche hin!).
Du musst im Zähler des Doppelbruches schon die beiden Brüche durch Erweitern zunächst gleichnamig machen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Da ist in Deiner Rechnung leider immer noch ein Vorzeichenfehler drin, der durch das Minuszeichen vor der Klammer entsteht:
$... \ = \ [mm] \bruch{\bruch{4*\left(\red{-}2h*x_{0} \ \red{-} \ h^2\right)}{(x_{0}+h)^2\cdot{}x_{0}^2}}{h}-1 [/mm] $
$= \ [mm] \bruch{\bruch{\red{-}4*h*\left(2*x_{0} +h\right)}{(x_{0}+h)^2\cdot{}x_{0}^2}}{h}-1 [/mm] $
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aristoteles!
Bis hierhin ist M.Rex' Antwort richtig ...
$ [mm] =\bruch{4*\left[(x_{0}+h)^{-2}-x_{0}^{-2}\right]}{h}-1 [/mm] $
Allerdings muss der nächste Schritt lauten:
$ [mm] =\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)²}-\bruch{4}{x_{0}²}}{h}-1 [/mm] $
$ [mm] =4*\bruch{\bruch{x_0^2-(x_0+h)^2}{(x_{0}+h)²*x_{0}²}}{h}-1 [/mm] $
Nun mal die Klammern im obersten Zähler auflösen und zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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ich habs jetzt soweit:
$ [mm] =4\cdot{}\bruch{\bruch{x_0^2-(x_0+h)^2}{(x_{0}+h)²\cdot{}x_{0}²}}{h}-1 [/mm] $
bitte kann mit jemand den weitern rechengang schreiben ich bin jetzt am verzweifeln. am liebsten würd ich dieses beispie zensieren lassen.
ich habe jetzt schon 6 mal das gleiche gerechnet und es kommt immer wieder das gleiche raus - was falsches.
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Hi, Aristoteles,
> ich habs jetzt soweit:
>
> [mm]=4\cdot{}\bruch{\bruch{x_0^2-(x_0+h)^2}{(x_{0}+h)²\cdot{}x_{0}²}}{h}-1[/mm]
Zunächst kannst Du das h aus dem "unteren" Nenner in den oberen mit hineinziehen:
(Übrigens lass' ich den blöden Index beim x jetzt einfach weg!)
[mm] 4\cdot{}\bruch{x^2-(x+h)^2}{h*(x+h)²\cdot{}x²}-1 [/mm] (***)
Dann rechne die binomische Formel aus:
[mm] (x+h)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}+2hx+h^{2}
[/mm]
Jetzt der Zähler als Ganzes:
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] (x+h)^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - [mm] (x^{2}+2hx+h^{2})
[/mm]
= [mm] x^{2} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2hx - [mm] h^{2} [/mm] = -2hx - [mm] h^{2}
[/mm]
Hier kannst Du nun h ausklammern:
h*(-2x - h)
Und somit lautet der umgeformte Term (***) als Ganzes:
[mm] 4\cdot{}\bruch{h*(-2x - h)}{h*(x+h)²\cdot{}x²}-1 [/mm]
Jetzt kannst Du das ausgeklammmerte h wegkürzen:
[mm] 4\cdot{}\bruch{(-2x - h)}{(x+h)²\cdot{}x²}-1
[/mm]
Und wenn Du nun h [mm] \to [/mm] 0 gehen lässt (was beim lim nichts Anderes heißt, als dass Du h=0 setzt),
kriegst Du im Zähler des Bruches -2x raus,
im Nenner wird das h in der Klammer gleich 0, sodass Du insgesamt (im Nenner) [mm] x^{2}*x^{2} [/mm] = [mm] x^{4} [/mm] rauskriegst.
Wir haben also nach dem Grenzübergang h [mm] \to [/mm] 0 Folgendes Zwischenergebnis:
[mm] 4\cdot{}\bruch{-2x}{x^{4}}-1
[/mm]
Klar, dass man diesen Bruch noch durch x kürzen kann; und wenn man möchte, kann man die 4 von vorne noch in den Zähler dazuschreiben.
Endergebnis:
[mm] \bruch{-8}{x^{3}}-1 [/mm] = - [mm] \bruch{8}{x^{3}} [/mm] - 1
Aber nu!
mfG!
Zwerglein
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ich danke dir recht herzlich!
aber was gehört jetzt noch vor diesen rechenschritt:
$ [mm] =4\cdot{}\bruch{\bruch{x_0^2-(x_0+h)^2}{(x_{0}+h)²\cdot{}x_{0}²}}{h}-1 [/mm] $
liebe grüße!
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Hi, Aristoteles,
> ich danke dir recht herzlich!
>
> aber was gehört jetzt noch vor diesen rechenschritt:
>
> [mm]=4\cdot{}\bruch{\bruch{x_0^2-(x_0+h)^2}{(x_{0}+h)²\cdot{}x_{0}²}}{h}-1[/mm]
Das hat M.Rex bei seiner rot gekennzeichneten Antwort jetzt - glaub' ich - richtig gestellt!
mfG!
Zwerglein
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[mm] m(h)=\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)^2}-(x_{0}+h)-[\bruch{4}{x_{0}^2}-x_{0}]}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{4(x_{0}+h)^{-2}-x_{0}-h-4x_{0}^{-2}+x_{0}}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{4(x_{0}+h)^{-2}-h-4x_{0}^{-2}}{h} [/mm]
[mm] =\bruch{4(x_{0}+h)^{-2}-4x_{0}^{-2}}{h}-\bruch{h}{h} [/mm]
[mm] \red{=\bruch{\bruch{4}{(x_{0}+h)²}-\bruch{4}{x_{0}²}}{h}-1} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4x_{0}²}{(x_{0}+h)²x_{0}²}-\bruch{4(x_{0}+h)²}{x_{0}²(x_{0}+h)²}}{h}-1 [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4(x_{0}²-(x_{0}²+2hx_{0}+h²)}{(x_{0}+h)²*x_{0}}}{h}-1 [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4(2hx_{0}+h²)}{(x_{0}+h)²*x_{0}²}}{h}-1 [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{4(2hx_{0}+h²)}{(x_{0}+h)²*x_{0}²}}{h}-1 [/mm]
[mm] =\bruch{8hx_{0}+4h²)}{((x_{0}+h)²*x_{0}²)*h}-1 [/mm]
[mm] =\bruch{8\not{h}x_{0}+4h\not{²})}{((x_{0}+h)²*x_{0}²)*\not{h}}-1
[/mm]
das alles vorher?
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![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
