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Hallo!
Wie berechnet man die Nullstellen und das Extrema von der Funktion f(x)=2*(sin(4x+12)) ?
Hab mir bei den Nullstellen gedacht, dass man sin (die innere Funktion) auf Null bringen muss. Somit würde -3 eine Nullstelle sein. Komme aber nicht wirklich weiter in der Rechnung. Brauche dringend mal eine Erklärung... Danke
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 16.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Kristina,
du liegst vollkommen richtig mit der Nullstelle -3. Ich zeig dir mal eben den mathematisch korrekten Weg dorthin.
[m]2sin(4x+12)=0[/m]
[m]\gdw sin(4x+12)=0[/m] |Umkehrfunktion einsetzen
[m]\gdw 4x+12=arcsin(0)[/m] |ausrechnen
[m]\gdw 4x+12=0[/m]
[m]\gdw x=-3[/m]
So nun zu dem Extremum (Extrema ist plural):
Hierfür brauchen wir die 1. Ableitung:
[m]f^{,}(x)=8cos(4x+12)[/m]
die wird null gesetzt:
[m]\gdw 8cos(4x+12)=0[/m]
[m]\gdw cos(4x+12)=0[/m]
[m]\gdw 4x+12=arccos(0)[/m]
[m]\gdw 4x+12=\bruch{\pi}{2}[/m]
[m]\gdw x=\bruch{\pi}{8}-3[/m]
Damit haben wir ein Etremum an der Stelle [mm] (\bruch{\pi}{8}-3;2) [/mm] mit der 2. Ableitung kriegt man noch raus, dass es ein Hochpunkt ist.
Ich hoffe, dass es ausführlich genug ist ansonsten frag nochmal nach. Ich glaube dir hat keine Erklärung gefehlt sondern der "Trick" mit der Umkehrfunktion.
MFG Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Di 16.11.2004 | | Autor: | KristinaW |
Danke, hast mir echt gut weitergeholfen.
Manche "Tricks" müssen einem aber auch gesagt werden, sonst verzweifelt man...
lg Kristina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Shaguare, hallo Kristina!
Den "Trick" mit der Umkehrfunktion finde ich nicht so gut, da er einen die weiteren Nullstellen vergessen läßt.
> du liegst vollkommen richtig mit der Nullstelle -3. Ich
> zeig dir mal eben den mathematisch korrekten Weg dorthin.
>
> [m]2sin(4x+12)=0[/m]
> [m]\gdw sin(4x+12)=0[/m] |Umkehrfunktion einsetzen
> [m]\gdw 4x+12=arcsin(0)[/m] |ausrechnen
An dieser Stelle müßte [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stehen, weil diese Gleichung nur eine Möglichkeit ist, die vorherige Gleichung zu erfüllen.
> [m]\gdw 4x+12=0[/m]
> [m]\gdw x=-3[/m]
Ich würde stattdessen so rechnen:
[mm] $2*\sin(4x+12)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\sin(4x+12)=0$
[/mm]
Nun argumentiere ich so: Die Nullstellen von [mm] $\sin$ [/mm] sind bekannt, sie liegen bei [mm] $k*\pi$, $k\in\IZ$.
[/mm]
Also muß gelten:
[mm] $\gdw$ $4x_k+12=k*\pi$, $k\in\IZ$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $4x_k=k*\pi-12$, $k\in\IZ$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_k=\bruch{k*\pi-12}{4}$, $k\in\IZ$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_k=\bruch{k}{4}*\pi-3$, $k\in\IZ$
[/mm]
Die Nullstellen von [mm] $2*\sin(4x+12)$ [/mm] liegen also bei [mm] $x_k=\bruch{k}{4}*\pi-3$, $k\in\IZ$
[/mm]
(wie man sieht, ist [mm] $x_0=-3$ [/mm] nur eine der unendlich vielen Nullstellen).
> So nun zu dem Extremum (Extrema ist plural):
>
> Hierfür brauchen wir die 1. Ableitung:
>
> [m]f^{,}(x)=8cos(4x+12)[/m]
>
> die wird null gesetzt:
>
> [m]\gdw 8cos(4x+12)=0[/m]
> [m]\gdw cos(4x+12)=0[/m]
> [m]\gdw 4x+12=arccos(0)[/m]
Hier das gleiche wie oben, nur muß man hier natürlich benutzen, dass die Nullstellen von [mm] $\cos$ [/mm] bei [mm] $k*\pi+\bruch{\pi}{2}$ [/mm] liegen.
Naja, insgesamt also bis auf den [mm] $\gdw$ [/mm] kein wirklicher Fehler in der Rechnung von Shaguar.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Di 16.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
Das ist mir natürlich bewußt bin es aber noch aus der Schule gewohnt, die Vielfachen wegzulassen. Außerdem wurde hier nix über den Definitionsbereich von f(x) gesagt also kann meine Antwort genauso richtig sein.
Gruß Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Shaguar!
> Das ist mir natürlich bewußt bin es aber noch aus der
> Schule gewohnt, die Vielfachen wegzulassen. Außerdem wurde
> hier nix über den Definitionsbereich von f(x) gesagt also
> kann meine Antwort genauso richtig sein.
Ja, sie könnte natürlich richtig sein.
Da aber wichtige Informationen in der Aufgabenstellung fehlen (nämlich der Definitionsbereich) sollte man schon annehmen, dass hier alle Nullstellen gefragt sind -- wenigstens die Pluralbildung in der Frage deutet ja auch auf mehr als eine gefragte Nullstelle hin.
Deine Antwort ist ja auch nicht falsch, ich wollte nur absehbaren neuen Problemen von Kristina vorgreifen, bevor sie sich deinen Weg aneignet.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Di 16.11.2004 | | Autor: | KristinaW |
Hallo ihr zwei!
Tut mir leid, dass wegen der Definitionsmenge eine kleine Unstimmigkeit zwischen euch entstanden ist. Leider habe ich keine genaue Def.menge vorgegeben. Die Fragestellung war die original Fragestellung. Danke aber trotzdem, dass ihr euch Gedanken gemacht habt und mich schonmal vor evtl. Fehlern bzw. dass ich nicht alle Nullstellen habe, gewarnt habt. Wenn ich die besprochene Aufgabe habe kann ich mich ja nochmal melden.
Liebe grüße, Kristina
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