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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Sprudel |
| Aufgabe | Ein Weg [mm] \mu [/mm] : (0,1) -> [mm] \IR^{2}, [/mm] der in [mm] \mu [/mm] (0)=0 beginnt, sei wie folgt parametrisiert:
[mm] \mu [/mm] := [mm] \vektor{t \\ t^{2} cos (\bruch{\pi}{t^{2}})} [/mm] , t > 0
a) Weisen Sie nach,dass [mm] \mu [/mm] zwar differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.
b) Zeigen sie, dass die Kurve nicht rektifierbar ist. |
Könnt ihr mir bitte Tipps geben, wie ich vorzugehen habe.
Ich verzweifle gerade wirklich total...
Danke danke danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ein Weg [mm]\mu[/mm] : (0,1) -> [mm]\IR^{2},[/mm] der in [mm]\mu[/mm] (0)=0 beginnt,
> sei wie folgt parametrisiert:
>
> [mm]\mu[/mm] := [mm]\vektor{t \\ t^{2} cos (\bruch{\pi}{t^{2}})}[/mm] , t >
> 0
>
> a) Weisen Sie nach,dass [mm]\mu[/mm] zwar differenzierbar, aber
> nicht stetig differenzierbar ist.
>
> b) Zeigen sie, dass die Kurve nicht rektifierbar ist.
> Könnt ihr mir bitte Tipps geben, wie ich vorzugehen
> habe.
Schau Dir die 2. Komponente von [mm] \mu [/mm] an, ich nenne sie g:
g(0)=0, $g(t)= [mm] t^{2} [/mm] cos [mm] (\bruch{\pi}{t^{2}})$ [/mm] für t [mm] \in [/mm] (0,1]
Zu a): Zeige : g ist auf [0,1] differenzierbar, aber g' ist auf [0,1] nicht stetig.
Zu b): Zeige: g ist auf [0,1] nicht von beschränkter Variation.
FRED
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> Ich verzweifle gerade wirklich total...
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> Danke danke danke
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:42 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Sprudel |
Also ich hab ein ähnliches Beispiel im Buch allerdings war dieser Beweis zu
$ [mm] \mu [/mm] $ := $ [mm] \vektor{t \\ t cos (\bruch{\pi}{t})} [/mm] $ , t > (also ohne [mm] t^2, [/mm] aber das macht in diesem Beweis doch keinen Unterschie oder ?????)
Es sei f wie im ersten Beitrag. Dann muss gezeigt werden, dass für alle c [mm] \in \mathbb{R_+} [/mm] einer Zerlegung Z exestiert mit
[mm] \sum_{i=0}^{n-1} ||f(t_{k}) [/mm] - [mm] f(t_{k-1})|| \ge [/mm] c .
Betrachte die Zerlegung mit
[mm] t_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{n-k}\text{ für } [/mm] k = [mm] \{0, \cdots , n-1\} \text{ und } [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1,
dann gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1} ||f(t_{k}) [/mm] - [mm] f(t_{k-1})||=\sum_{i=0}^{n-1} ||(\frac{1}{n-k}-\frac{1}{n-k+1},\frac{\cos ((n-k)\pi )}{n-k}-\frac{\cos ((n-k+1)\pi )}{n-k+1}||
[/mm]
[mm] =\sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{(\frac{1}{n-k}-\frac{1}{n-k+1})^2+(\frac{\cos ((n-k)\pi )}{n-k}-\frac{\cos ((n-k+1)\pi )}{n-k+1})^2}.
[/mm]
Mit den Abschätzungen
[mm] (\frac{1}{n-k}-\frac{1}{n-k+1})^2 [/mm] = [mm] (\frac{1}{(n-k)^2+(n-k)})^2 \ge \frac{1}{4(n-k)^4}
[/mm]
und
[mm] (\frac{1}{n-k} \cos ((n-k)\pi )-\frac{1}{n-k+1} \cos ((n-k+1)\pi ))^2 \ge \frac{1}{(n-k+1)^2}
[/mm]
folgt schließlich:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1} ||f(t_{k}) [/mm] - [mm] f(t_{k-1})|| \ge \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\frac{1}{4(n-k)^4}+\frac{1}{(n-k+1)^2}}\ge \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\frac{1}{(n-k+1)^2}}=\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n-k+1}.
[/mm]
Weil die harmonische Reihe divergiert, findet man für alle c [mm] \in \mathbb{R_+} [/mm] ein [latex]n [mm] \in \mathbb{N}, [/mm] sodass gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1} ||f(t_{k}) [/mm] - [mm] f(t_{k-1})|| \ge [/mm] c .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 08.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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